Занятие 6 Второе начало термодинамики. Кпд тепловой машины. Распределения Максвелла и Больцмана.

Изучая процесс превращения теплоты в работу, Р.Клаузиус в 1865 г ввел понятие энтропии , которое определил через ее приращение :

, (6.1)

где – бесконечно малое приращение тепла, полученное термодинамической системой при данной температуре.

Энтропия – функция состояния системы. Если известен явный вид зависимости энтропии от термодинамических параметров (температуры, давления, объема), то из (6.1) можно рассчитать количество тепла, полученное системой в заданном процессе:

(6.2)

Если дана зависимость температуры от энтропии в виде графика, то теплота, полученная газом определяется, как площадь под кривой (см. рис.).

Теормодинамическую систему, совершающую циклический процесс и совершающую работу за счет получения тепла от нагревателя, называют тепловой машиной. Характерным параметром тепловой машины является коэффициент полезного действия:

или . (6.3)

где – работа, совершенная машиной за цикл. Чтобы тепловая машина могла работать непрерывно, она должна совершать циклический процесс, получая некоторую порцию тепла от нагревателя и обязательно отдать часть тепла холодильнику . Нагревателем и холодильником могут служить более нагретое тело с температурой (печь) и менее нагретое с температурой (холодная вода), с которыми по очереди контактирует рабочее тело (например газ в цилиндре под поршнем).

Самый большой КПД при одинаковых и будет у тепловой машины, работающей по циклу Карно, состоящего из двух изотерм и двух адиабат. Такую машину называют идеальной тепловой машиной и ее КПД

(6.4)

Если рабочий цикл тепловой машины изображен графически в виде замкнутой фигуры в координатах , то работа газа за цикл будет равна площади этой фигуры (см. рис. цикл 1-2-3-1). Тепло, полученное от нагревателя, находится при этом как площадь под кривой 1-2, где энтропия возрастает (на участке 2-3 тепло отдается холодильнику).

Продолжателем идей Р.Клаузиуса в молекулярно-кинетической теории газов, в которую тот ввел элементы теории вероятности, был Д.К.Максвелл, получивший функцию распределения молекул идеального газа по модулям их скоростей :

, (6.5)

где – постоянная Больцмана; – масса одной молекулы. С помощью этой функции можно рассчитать относительную долю молекул, обладающих скоростями в диапазоне от до .

. (6.6)

Интегрируя выражение (6.6), можно убедиться, что относительная доля молекул, обладающих скоростями в бесконечном диапазоне скоростей, равна 1: (6.7)

Рис.6.1. Распределение Максвелла

На рис.6.1 показан вид функции распределения Максвелла, имеющий максимальное значение при некоторой скорости, которая называется средней вероятной скоростью:

, (6.8)

где – универсальная газовая постоянная;  – молярная масса газа.

Анализируя формулы (6.8) и (6.7) можно прийти к выводу, что при увеличении температуры положение максимума функции распределения смещается вправо по оси скоростей, но при этом площадь под кривой не меняется и равна всегда 1.

Кроме средней вероятной скорости (6.8) в молекулярно-кинетической теории используется понятие средней скорости

(6.9)

и среднеквадратичной скорости

. (6.10)

Используя распределение Максвелла по проекциям скоростей, можно найти число ударов молекул в единицу времени (частоту ударов) о поверхность единичной площади

(6.11)

и среднюю длину свободного пробега молекулы

, (6.12)

где – концентрация молекул газа, – эффективное сечение молекулы, – эффективный диаметр молекулы.

Кроме распределения Максвелла по скоростям молекул (6.5) необходимо упомянуть распределение Больцмана по высоте молекул в равновесном изотермическом столбе газа (например в изотермической модели атмосферы): , (6.13)

где и – концентрации молекул газа на высоте от поверхности Земли и на нулевой высоте соответственно,  – молярная масса газа, – ускорение свободного падения, которое считается постоянным в пределах всего столба газа, – абсолютная температура, постоянная по всему столбу газа.

Формула для давления газа

(6.14)

в сочетании с (6.13) позволяет определить давление газа на разных высотах в изотермической равновесной атмосфере или барометрическую формулу: (6.15)

Необходимо учесть тот факт, что давление атмосферы около поверхности Земли не зависит от температуры, так как масса всего воздуха в атмосфере, который своим весом давит на площадь Земли, не меняется ни зимой, ни летом.

6.1. Два моля азота сначала изобарически нагревают в два раза, а затем изотермически сжимают в два раза. Найти суммарное изменение энтропии в этих двух процессах. Ответ:

6.2. Теплоёмкость термодинамической системы (не идеального газа) в некотором процессе изменяется с температурой по закону C = b/T² , где b = 800 кДж ^. К. Найти изменение энтропии системы в этом процессе при её нагревании от T ₁ = 100 K до T ₂ = 200 K.

Ответ:

6.3. Идеальный трёхатомный газ совершает циклический процесс, изображённый на диаграмме, где p ₁ = 3p ₂ , V ₂ = 5V ₁ . Найти к.п.д. этого процесса.

Ответ:

6.4. К.п.д. циклического процесса, изображённого на T – S – диаграмме, равен Найти температуру T₁, если T₃ = 300 К, а T ₂ = 350 К.

Ответ: T₁ = 400 K.

6.5. Идеальный газ находился в закрытом сосуде, а средняя квадратичная скорость молекул была равна . Потом газ был нагрет так, что средняя вероятная скорость молекул стала равна . =500 м/с; =450 м/с. Найти: отношение частоты ударов молекул о единичную площадку в первом и во втором состояниях .