§2 Преобразование рядов

№1 Преобразование рядов по Эйлеру

1) Очень часто бывает трудно или вовсе невозможно получить формулу суммы ряда поэтому особую роль играет преобразование рядов по которое во многих случаях позволяет найти или точную формулу суммы ряда или заменяет его быстросходящимся рядом с той же суммой. Пусть дан сходящийся ряд S(x)= тогда, произведём следующую замену, полжем или

Тогда так как , тогда далее подставляя вместо xⁿ его представление в виде ряда, и соберём коэффициенты при одинаковых степенях y получим:

таким образом замечая что коэффициенты при степенях есть первые, вторые … разности получим

(8)

или для знакочередующего ряда

(9)

Это преобразование носит имя Эйлера и позволяет найти сумму любой последовательности с конечными разностями. То есть по сути формула (8) является полным аналогом формулы (3) и на неё распространяются те же свойства.

2) Используя результат (№3,§1,?1) получим что

3) С помощью преобразования Эйлера можно находить и конечные суммы действительно возьмём ряд S(x)= далее посчитаем сумму этого ряда и вычтем из неё сумму умноженную на в итоге получим

или для знакочередующего ряда

№2 Двойные ряды(Сумма по Эйлеру)

1) Теперь произведём обобщение преобразования Эйлера на функции отличные от Пусть имеется ряд тогда образуем ряд далее предположим что его сумма равна

тогда поскольку

сравнивая коэффициенты в двух суммах получим, что;

откуда … а значит

2) Очевидно, что преобразование Эйлера получается при S(x)=

§3 Вычисление числовых рядов с переходом к функциональным

№1 Ряды, сводящиеся к элементарным функциям

Как было сказано ранее многие числовые ряды могут быть сведены к функциональным переходом , а сумму соответствующих функциональных рядов можно получить используя операции дифференциального исчисления.

1) Ряд вида поскольку то дифференцируя получим а значит

аналогично находим что

если же положить а=1 то искомые интегралы возьмутся по частям и тогда будем иметь:

а также

2) Ряд вида действуя также как и в случае (1) будем иметь опять же для

№2 Ряды сводящиеся к неэлементарным функциям

1) Рассмотрим ряд вида преобразуем его в следующему виду

где

Рассмотрим интегральную форму бета функции , а значит будем иметь далее проведём замену

тогда, используя преобразование Эйлера, получим

таким образом выделим целую часть и получим что дале применим теорему Остроградского будем иметь

откуда ; ; ; а значит следовательно

таким образом

§4 Д-зета функция Римана и Формула Эйлера-Маклорена

№1 Ряд

1) Первым шагом в исследовании данной функции является нахождение её значений от чётных положительных аргументов. Для этого рассмотрим формулу Муавра где мнимая единица. Раскрывая левую часть по формуле Ньютона и приравнивая коэффициенты при получим что положим тогда далее положим что

тогда так как

а то и а значит

тогда сделав замену будем иметь

тогда если положить будем иметь

2) По ранее найденному, имеем тогда логарифмируя получим что

далее дифференцируя будем иметь используя связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями будем иметь далее умножим оби части равенства на и разложим функцию в ряд и переставляя суммы местами будем иметь

3) Рассмотрим функцию положим. что тогда поскольку будем иметь

и вообще или то есть те самые числа Бернулли, которые появились в

параграфе №2 тогда или, перенеся влево,

или таким образом

4) Тогда приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в двух представлениях функции получим, что откуда получим, что

5) Рассмотрим ряд очевидно что а поскольку следовательно а значит

6) Рассмотрим ряд далее затем возьмём сумму и вычтем из неё сумму окажется, что а значит то есть

рассмотрим теперь функцию

и а нечётно тогда перепишем в виде

где тогда заменяя сумма станет равной или в итоге получим

7) Примеры сумм:

а) б) в) г) д) е)

ж) з) и) и.т.д.

№2 Суммы через числа Бернулли

1) Ранее было показано, что если имеется последовательность где номер элемента тогда где числа Бернулли

2) Рассмотрим ряд Этот ряд расходится. Попробуем найти его конечную сумму, для этого найдём несколько производных …

а значит для определения постоянной воспользуемся тем что для больших ряд справа быстро сходится откуда например для будем иметь таким образом

данный ряд является асимптотическим и при больших вычисленная нами постоянная - так называемая постоянная Эйлера.

2) Рассмотрим n! будем иметь рассмотрим сумму

тогда а значит

таким образом получим далее следовательно

это так называемая формула Стирлинга.

Считая, функцию справа непрерывной найдём что для

3) Вновь вернёмся к Д-зете функции Римана и найдём общую формулу для произвольного аргумента . Для этого найдём производные равные …

а значит

Рассмотрим данный ряд при различных значениях

а) Пусть тогда

действительно

относительная ошибка

б) Пусть тогда

в) Пусть тогда

г) Пусть тогда

уже при ошибка при сложении 3 членов ряда в 6 знаке после запятой.

д) Пусть тогда

4) Очевидно что если в (8) положить достаточно будет везде к прибавить и тогда снова получится верная формула но с новой константой.

5) Рассмотрим ряд тогда а значит

или

если положить то будем иметь

6) Рассмотрим ряд очевидно что а значит

или

где