Контрольная работа № 6

кратные интегралы, криволинейные интегралы

и интегралы по поверхности

Задание 21. В задачах 1-20 изменить порядок интегрирования в интеграле. Область интегрирования изобразить на чертеже.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19 . . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

Задача 22. В задачах 1-20 вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Изобразить на чертеже данное тело и область интегрирования.

1.

2.

3.

4.

5.

6. , .

7. .

8. .

9. .

10.

11. z=x²+y², x+y=1, x≥0, y≥0, z≥0

12. z=2-( x²+y²), x+2y=1, x≥0, y≥0, z≥0.

13. z=x²_, x-2y+2=0, x+y-7=0, z≥0.

14. z=2 x²+3y², y=x², y=x, z≥0.

15. z=2 x²+y², y=x, y=3x, x=2,z≥0.

16. z=x, y=4, x= , x≥0, y≥0, z≥0.

17. y= , y=x, x+y+z=2, z≥0

18. y=1-x², x+y+z=3, y≥0, z≥0/

19. z=2 x²+y², x+y=4, x≥0, y≥0, z≥0.

20. z=4-x², x²+y²=4, x≥0, y≥0, z≥0.

21. 2x+3y-12=0, 2z=y², x≥0, y≥0, z≥0.

22. z=10+x²+2y², y=x, x=1, y≥0, z≥0.

23. z=x², x+y=6, y=2x, x≥0, y≥0, z≥0.

24. z=3x²+2y²+1, y=x²-1, y=1, z≥0

25. 3y= , y≤x, x+y+z=10, y=1, z=0.

26. y²=1-x, x+y+z=1, z=0, x=0.

27. y=x², x=y², z=3x+2y+6, z=0

28. x²=1-y, x+y+z=3, y≥0, z≥0.

29. x=y², x=1, x+y+z=4, z=0

30. z=2x²+y², x+y=1, x≥0, y≥0, z≥0.

Задача 23. В задачах 1-16 требуется вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной указанной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр положителен.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. (x²+y²)³ = a²x²y² 12. (x²+y²)² = a²(4x²+y²)

13. (x²+y²)³ = a²x² (4x²+3y²) 14. (x²+y²)²=a²(3x²+2y²)

15. y⁶ = a²(3y²-x²) (y²+x²)

В задачах 16-30 требуется вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты.

16. 17.

18. 19.

20. 21.

22. . 23.

24. 25.

26. 27.

28. 29.

30.

Задача 24.

1. Найти момент инерции однородного шара массы относительно оси .

2. Найти массу пирамиды с вершинами в точках (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0) и (0; 0; 1), если плотность в точке (x, y, z) равна (x+y+z)^-3.

3. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного конусом и плоскостью .

4. Найти момент инерции однородной прямой треугольной призмы массы относительно ее бокового ребра, если все ребра равны .

5. Найти массу пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью , если плотность в каждой ее точке равна абсциссе этой точки.

6. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного параболоидами и плоскостью .

7. Найти массу тела, ограниченного плоскостью , цилиндром и конусом , если плотность в каждой его точке численно равна расстоянию от этой точки до оси .

8. Найти момент инерции относительно оси , ограниченной координатными плоскостями и плоскостью , если в каждой ее точке плотность численно равна аппликате этой точки.

9. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом и плоскостью .

10. Найти массу тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью , если плотность в каждой его точке численно равна произведению координат этой точки.

11. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями , 2y-z=0, z=0.

12. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x-y-z=3, x-4=0, y=0, z=0.

13. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x²+y-4=0, y-2z=0, z=0.

14. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x-y+z=0, y-4=0, x=0, z=0.

15. Найти момент инерции относительно оси OZ однородного тела, ограниченного поверхности x+y-1=0, x-y-1=0, x=0, z=0, z-2=0.

16. Найти момент инерции относительно оси OZ однородного тела, ограниченного поверхности x+y=0, x-y=0, x-1=0, z=0, z=3.

17. Найти момент инерции однородного прямого параллелепипеда массы М относительно его бокового ребра, если все его ребра равны а.

18. найти момент инерции однородного шара (x-1)²+y²+z²≤4R² массы М относительно оси OX.

19. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x²+y-2=0, 3y-2z=0, z=0.

20. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

3y+z=0, x+y=0, x-2=0, z=0.

21 Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x²+y-1=0, y-2z=0, z=0.

22. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x-3y=0, 2x-z=0, y-2=0, z=0.

23. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом x²+y²=z и плоскостью z=3.

24. Найти центр тяжести четверти окружности , расположенный в первом квадранте, если в каждой её точке линейная плотность пропорциональна произведению координат точки.

25. Найти центр тяжести однородной арки циклоида , .

26. Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной параболой и осями координат.

27. Найти центр тяжести однородной дуги полуокружности , расположенный под осью OX.

28. Найти центр тяжести однородного полукруга , расположенного под осью OX.

29. Найти ц.т. однородной фигуры, ограниченной дугой эллипса , и координатными осями, расположенными в I квадранте.

30. Найти ц.т. однородные фигуры, ограниченные параболами и .

Задача 25. В задачах 1-30 вычислить криволинейный интеграл.

1. , вдоль прямой линии от точки А(0;π) до точки В(π;0).

2. , вдоль прямой линии y= от точки (-1,1) до точки (2,2).

3. , вдоль линии y=lnx от точки (1,0) до точки (е,1).

4. , вдоль дуги циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost) от точки (2πа,0) до точки (4πа,0).

5. , вдоль гипоциклоиды x=acos³t, y=asin³t обходя ее против часовой стрелки.

6. , вдоль параболы y=x² от точки (-1,1) до точки (1,1).

7. , вдоль окружности , обходя ее против хода часовой стрелки.

8. , от точки А(1,2) до точки В(3,0) вдоль ломанной линии, состоящей из отрезков прямых x=1,y=5.

9. , вдоль треугольника А(-1,0) ,В(1,0), С(0,1), обходя его против хода часовой стрелки.

10. , вдоль кривой y=x² от точки (0,0) до точки (1,1)

11. , вдоль прямой АВ, А(2π,-2π); В(-2π,2π).

12. , вдоль прямой АВ, А(1,2), В(3,6)

13. , вдоль кубической параболы y=x³ от точки А(0,0) до точки В(1,1).

14. , вдоль ломанной АВС, А(1,2), В(3,2), С(3,5).

15. , от точки О(0,0,0) до точки В(-2,4,5).

16. , вдоль дуги окружности x=Rcost, y=Rsint, О(R,0), A(0,R).

17. , вдоль дуги параболы y²=x от точки О(0,0) до точки А(1,1)

18. , вдоль дуги параболы y²=4-4x от точки А(1,0) до точки В(0,2)

19. , вдоль дуги параболы y=x² от точки О(0,0) до точки В(1,1)

20. , вдоль дуги параболы y=x² от точки О(0,0)до точки В(1,1)

21. , вдоль дуги астроиды x=2cos³t, y=2sin³t от точки А(2,0)до точки В(0,2)

22. , вдоль дуги параболы y²=4x от точки А(0,0)до точки В(1,2)

23. , вдоль прямой АВ; А(1,0), В(0,2)

24. , вдоль дуги линии y=lnx от точки А(1,0)до точки В(e,1)

25. , вдоль дуги параболы y=x2/4, от точки О(0,0) до точки А(2,1)

26. , вдоль ломанной линии y= , от точки А(-1,1) до точки В(2,2)

27. , вдоль отрезка прямой, соединяющей точки О(0,0,0) и А(2,1,-1)

28. , вдоль ломанной АВС; А(2,0), В(5,0), С(5,3)

29. , вдоль дуги параболы y=2x², от точки О(0,0) до точки А(1,2)

30. , вдоль четверти дуги окружности x=Rcost, Y=Rsint, лежащей в первом квадрате и «пробегаемая» против хода часовой стрелки.

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Задача 26. В задачах 1-30 даны функция и вектор . Требуется: 1) найти направление наибольшего возрастания функции в точке и скорость возрастания функции в этом направлении; 2) найти ; 3) найти .

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

11. u=xy+xz; F=(3z²+x)i+(e^x-2y)j+(2z-xy)k

12. u=xy²z; F=(4x-2y²)i+(lnz-4y)j+(x+

13. u=xyz³; F=(e^-z-x)i+(xz+3y)j+(z+x²)k

14. u=x-2yz; F=(6x-cosy)i+(e^x+z)j-(2y+3z)k.

15. u=x²yz²; F=(e^z+ i+(lnz- )j+ k.

16. u=x²yz³; F=xyi+yzj+xzk.

17. u=x²z-yz²; F=3x²yi-2x²yj+(2x-1)zk.

18. u=xy+x²z; F=(y²+xz)i+(xy-z)j+(yz+x)k.

19. u=y(x+z); F=(e^y+2x)i+(xz-y)j+ (e^xy-z)k.

20. u=y²x-z³x²; F=(x+y )i+(2xy+z)j+(z+sinx)k.

21. u=y²-z²-xz; F=(2xy²+zx)i+(e^xy-2xy)j-(ysinx)k.

22. u=xz+z³; F=( +e^-x)i+(x²y²-z²)j-(4xy+z)k.

23. u=y²x²-z²y; F=7xzi+(3x+2zy)j-e^x+yk.

24. u=x²-yz²; F=(6yz-cosx)i+(xe^y+z)j+(2xy-3yz)k.

25. u= xyz; F=(4y²z-e^x)i+(3z²+x)j-(2y+3xz)k.

26. u=x²y-y²z; F=(2xy+z)i+(z-sinxy)j+(ysinx)k.

27. u=xy³z; F=(3x+2yz)i+zxyj+(e^-x+e^x)k.

28. u=xyz²; F=(2x²y+x)i+(xy-z)j+(y²+xz)k.

29.u=uz²-x²; F=(xz-y)i+(yz+x)j+(e^y+2z)k.

30. u=xy²-z³; F=(3z²+xy)i+(e^x+2z)j+(4yz-x)k

.

Задача 27. В задачах 1-30 даны вектор и плоскость . Плоскость вместе с координатными плоскостями образует поверхность некоторой пирамиды. Требуется: 1) с помощью формулы Остроградского найти поток поля вектора через поверхность пирамиды в направлении внешней нормали; 2) найти циркуляцию поля вектора вдоль линии пересечения плоскости с координатными плоскостями непосредственно и по формуле Стокса, принимая в формуле Стокса за поверхность, по которой производится интегрирование, три грани пирамиды, лежащие в координатных плоскостях. При этом то направление обхода линии интегрирования следует считать положительным, при котором точка пробегает ее по ходу часовой стрелки, если смотреть начала координат.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21. 22.

23. 23.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Список литературы

1. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М., Высшая школа, 1971.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: 1980, 1984.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функция комплексного переменного. – М.: 1981, 1985.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М.: 1982, 1987.

Содержание

Теоретические вопросы 1

Образцы решения заданий

Контрольная работа № 4 5

Контрольная работа № 5 7

Контрольная работа № 6 10

Варианты контрольных заданий

Контрольная работа № 4 20

Контрольная работа № 5 22

Контрольная работа № 6 25

Список литературы 30