Теория метода
Найдем
распределение температур в веществе,
находящемся между двумя большими
плоскими параллельными пластинами,
если последние поддерживают при
температурах
и
,
расстояние между ними равно
и теплопроводность вещества
.
То есть, найдем зависимость температуры
вещества (газа) между пластинами
от расстояния
от пластины с меньшей температурой.
Пусть
– температура верхней пластины,
– температура нижней пластины,
- расстояние между ними (рис.4). Причем
.
Рассмотрим
в веществе, находящемся между пластинами,
элементарный слой с некоторой температурой
на расстоянии
от пластины с температурой
.
Следовательно, расстояние от слоя до
пластины с температурой
будет равно
.
Рис.4. К нахождению распределения температур в веществе, находящемся между двумя параллельными пластинами.
Считая, что температура зависит только от одной координаты из уравнения (13) получаем, что плотность теплового потока равна
.
(23)
Как
было показано ранее (формулы (16),(17))
или
,
где
.
Тогда в соответствии с формулой (23) можно
записать:
.
(24)
Проинтегрировав
(24) по температуре от
до
и по
от
до
,
находим зависимость температуры
от расстояния
:
,
,
.
(25)
Проинтегрировав
(24) по температуре от
до
и по
от
до
,
выразим отношение
:
,
.
(26)
Подставляя выражение (26) в формулу (25), получим:
,
(27)
где – температура верхней пластины,
– температура вещества между пластинами,
– температура нижней пластины,
– расстояние между пластинами,
– расстояние от пластины с температурой .
Теперь найдем коэффициент теплопроводности вещества, находящегося между двумя плоскими параллельными пластинами.
Плотность теплового потока от пластины с большей температурой к пластине с меньшей температурой выражается формулой (23). По определению, плотность теплового потока – это количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади поверхности:
,
(28)
где
– количество тепла, испускаемое нагретой
пластиной в направлении холодной;
– время прохождения тепла через вещество;
– площадь
поверхности, через которую проходит
теплота.
Поскольку
расстояние между пластинами много
меньше их линейных размеров, изменение
температуры на единицу длины (в среде)
в формуле (23) можно представить, как
,
(29)
где
– разность температур между пластинами,
– температура верхней пластины (нагретой),
– температура нижней пластины (холодной),
– расстояние между пластинами.
Тогда, подставляя (28) и (29) в (23), и, учитывая, что знак “–“ выражает направление переноса тепла от области с большей температурой к области с меньшей температурой, тогда как градиент направлен в сторону возрастания этой величины, получим, что коэффициент теплопроводности вещества равен:
.
(30)
Общее количество тепла, испускаемое нагретой пластиной равно
,
(31)
где – количество тепла, испускаемое нагретой пластиной в направлении холодной;
– количество
тепла, теряемое нагретой пластиной за
счет теплообмена с окружающей средой.
Из (31) следует что
,
(32)
где
– коэффициент, равный отношению
количества тепла, испускаемого нагретой
пластиной в направлении холодной, к
общему количеству тепла, испускаемого
нагретой пластиной.
По закону Джоуля – Ленца:
,
(33)
где – сопротивление нагретой пластины;
– сила
тока в цепи;
– время протекания тока через нагретую пластину.
Таким образом, из формул (33), (32) и (30), учитывая, что время прохождения тепла через вещество равно времени протекания тока через нагретую пластину, получаем, что коэффициент теплопроводности вещества, находящегося между двумя параллельными пластинами равен
,
(34)
где – сопротивление нагретой пластины;
– сила тока в цепи;
– площадь поперечного сечения поверхности;
– коэффициент, равный отношению количества тепла, испускаемого нагретой пластиной в направлении холодной, к общему количеству тепла, испускаемого нагретой пластиной;
– расстояние между пластинами;
– температура верхней пластины (нагретой);
– температура нижней пластины (холодной).
Для установки, используемой в работе:
;
;
;
.