4.3. Способи задання площини

Площина може бути задана одним із таких рівнянь:

І. Загальне рівняння площини має такий вигляд:

Загальне рівняння площини називають повним, якщо жоден із коефіцієнтів не дорівнює нулю, й неповним, якщо хоча б один із коефіцієнтів дорівнює нулю.

Площини задані неповними рівняннями мають деякі особливості розташування відносно системи координат.

ІІ. Із повного рівняння можна отримати рівняння площини у відрізках:

де Це відрізки, що відтинаються від координатних осей.

ІІІ. Геометрично площину можна задати за допомогою точки і двох неколеніарних векторів, які можна розмістити на цій площині

Означення. Будь-яку, але фіксовану точку площини називають початковою.

Означення. Два неколінеарні вектора, які знаходяться в даній або паралельних площинах, називають напрямними векторами площини.

Нехай задано початкову точку М₀ і два напрямний вектори (рис. 9) p і q. Нехай точка має радіус вектор , а точка М – радіус-вектор . Вектор належить площині, тоді можна розкласти за двома неколінеарними векторами і : , , отже . Дане рівняння називають векторно-параметричним рівнянням.

Рис. 9

IV. Із векторно-параметричного рівняння отримаємо параметричне рівняння площини. Для цього перейдемо до координат .

. Нехай вектор , . Тоді запишемо векторно-параметричне рівняння через координати:

– параметричне рівняння площини.

V. Маємо ; ; . Якщо точка М належить площині, то належить площині. Тоді вектори , , – компланарні, отже, вони лінійно залежними, тому визначник, складений із координат цих векторів, має дорівнювати нулю:

.

VI. Із отриманого рівняння одержимо рівняння площини через три точки , , .Одну з точок візьмемо за початкову і утворимо два напрямні вектори , , тоді

.

VII. Отримаємо два різновиди векторного рівняння площини.

а) Нехай нормальний вектор площини, М₀ – початкова точка площини. Візьмемо точку М, що належить площині, тоді теж належить площині, . Тобто , оскільки , то

( )=0.

б) Задано початкову точку М₀ і напрямні вектори , . М належить площині, теж належить площині. Тоді , , – компланарні, а з цього випливає, що ( , , )=0, тоді

( , , )=0.

VIII. Нормоване рівняння площини.

Означення. Векторне рівняння площини називають нормованим, якщо в ньому .

Із загального рівняння площини можна отримати нормоване рівняння множенням на нормувальний множник , знак вибирають протилежний до знака члена D. Отже, нормоване рівняння має такий вигляд:

або ,

де – кути утворені вектором із осями координат.

Аналогічно прямій на площині вводиться поняття відхилення точки від площини.

Так само як для прямої на площині має місце теорема про геометричний зміст лівої частини нормованого рівняння.

4.4. Умови паралельності та збіжності двох прямих на площині

Лема. Нехай пряму на площині задано рівнянням .

Для того щоб вектор був напрямним вектором даної прямої, необхідно й достатньо, щоб його координати задовольняли рівність

.

Доведення.

Необхідність. Нехай – напрямний вектор прямої. Паралельним перенесенням розмістимо його у початок , тоді – кінець.

. Оскільки належить прямій, то . Оскільки належить прямій, то .Звідси , тобто .

Достатність:

Зауваження. Із леми випливає: якщо пряма задана загальним рівнянням у будь-якій системі координат, то числа A і B також мають геометричний зміст. Вони є координатами напрямного вектора прямої: . Розглянемо рівність

.

Тобто лема виконується в усіх системах координат.

В прямокутній декартовій системі координат рівність можна записати як , де , .

Тобто умова в лемі – умова перпендикулярності нормального і напрямного векторів.

Теорема 1. Щоб дві прямі на площині, задані рівняннями (4.4.1) і (4.4.2),

(4.4.1)

(4.4.2)

були паралельні, необхідно й достатньо, щоб виконувалась така умова:

(4.4.3)

Доведення.

Необхідність: нехай прямі, задані рівняннями (4.4.1) і (4.4.2), паралельні. Оскільки прямі паралельні, вони мають колінеарні напрямні вектори:

.

Розписавши цю рівність через координати, маємо:

– умова (4.4.3).

Достатність. Доведіть самостійно.

Теорема 2. Щоб дві прями на площині, задані рівняннями (4.4.1) і (4.4.2), збігалися, необхідно й достатньо виконання такої умови:

(4.4.4)

Доведення.

Необхідність нехай прямі, задані рівняннями (4.4.1) і (4.4.2), збігаються. Тоді вони мають однакові напрямні вектори:

Крім того вони мають принаймні одну спільну точку .

.

Отримали .

Достатність. Доведіть самостійно.