3.3. Алгебраїчні лінії та поверхні

Означення. Алгебраїчною лінією на площині називають лінію, яка в деякій системі координат має рівняння

f(x,y)= =0,

де – цілі невід’ємні числа.

Тобто f(x,y) є многочленом і відносно змінної х, і відносно змінної у.

Означення. Порядком алгебраїчної лінії називають найбільше з чисел , .

Означення. Алгебраїчною поверхнею називають поверхню, яка в деякій системі координат має рівняння

,

де – цілі невід’ємні числа.

Означення. Порядком алгебраїчної поверхні називають найбільше з чисел .

Теорема про інваріантність порядку алгебраїчної лінії (поверхні). Порядок алгебраїчної лінії (поверхні) не змінюється в разі переходу від однієї до іншої афінної системи координат.

Доведення. Нехай задано алгебраїчну лінію

+ +…+ = 0

у деякій системі координат О , , точка М має координати ( ). Здійснимо перехід до іншої системи координат О , М( ).

Нехай порядок лінії L дорівнює . Доведемо, що в іншій системі координат порядок лінії теж буде .

Під час переходу до іншої системи координати точки перетворюються за формулами:

Візьмемо довільний доданок:

.

Застосовуючи формулу бінома Ньютона, бачимо, що порядок кожного додатку не може збільшуватися, тому не може збільшитись і порядок лінії.

Доведемо, що порядок лінії не може зменшитись. Припустимо супротивне, що в другій системі координати набули порядку < . Тоді перейдемо перехід від другої системи координат до першої. Виходить, що порядок збільшився, оскільки за нашим припущенням < . Але не може цього бути, тому що за будь-яких переходів, як ми вже довели, порядок не збільшується.

4. Геометричні образи лінійних рівнянь

4.1. Загальні рівняння площини і прямої на площині

Теорема 1. Геометричний образ рівняння першого порядку

(4.1.1)

є площина, і навпаки, задана площина має рівняння вигляду (4.1.1).

Доведення.

I. Перейдемо від афінної системи координат О , де поверхня має рівняння (4.1.1), до прямокутної декартової системи координат О За теоремою про інваріантність порядку отримаємо рівняння

(4.1.1^/)

Отже, (4.1.1) і ( ) – рівнянням однієї поверхні у різних системах координат. Візьмемо точку . Доведемо, що така точка існує. Оскільки принаймні один з коефіцієнтів не дорівнює 0. Нехай , якщо взяти , , то , . Тоді маємо тотожність

(4.1.2)

Віднімемо від лівої частини рівності (4.1.1’) нуль у вигляді тотожності (4.1.2). Рівність (4.1.1’) набуде такого вигляду:

(4.1.1^//)

Нагадаємо, що (4.1.1), (4.1.1’), (4.1.1^//) – це рівняння однієї поверхні . Доведемо, що (4.1.1^//) є рівняння деякої площини. Для цього побудуємо площину (рис. 6), що проходить через точку і перпендикулярна вектору . Доведемо, що ця конкретна площина має рівняння (4.1.1^//). Для цього необхідно довести виконання двох умов:

Рис. 6

1. Координати будь-якої точки M( ), що належить площині, задовольняють рівняння (4.1.1^//).

Розглянемо .

Вектор площині, тому перпендикулярний до . Отже, ( . Оскільки система координат прямокутна декартова, то останню вимогу можна записати такому у вигляді:

.

Отже, точка M ( ) задовольняє рівняння (4.1.1^//).

2. Якщо точка не належить площині, то її координати не задовольняють рівняння (4.1.1^//). Насправді в цьому випадку вектор не перпендикулярний до вектора , тому ( . Розписавши цю нерівність через координати, отримаємо

.

II. Нехай задано конкретну площину.

Доведемо, що вона має рівняння вигляду (4.1.1). Виберемо спеціальним чином систему координат (рис. 7), а саме щоб вектори належали площині.

Рис. 7

Зрозуміло, що в даній системі координат ця площина має рівняння

(4.1.3)

Це рівняння є окремим випадком рівняння (4.1.1) (А=0, В=0, С=1, D=0).

Зауваження 1. Якщо , то . Тоді маємо рівняння вигляду . Для D можуть бути два випадки:

1. Якщо . Тоді жодна точка не задовольняє дане рівняння, тобто маємо порожню множину.

2. Якщо . Тоді будь-яка точка задовольняє наведене рівняння, тобто отримаємо весь простір.

Зауваження 2. Із доведення теореми випливає, що в рівнянні площини в прямокутній декартовій системі координат коефіцієнти А, В, С мають певний геометричний зміст. Вони являють собою координати вектора, перпендикулярного до площини: .

Означення. Вектор, перпендикулярний до площини, називають нормальним.

Теорема 1^/. Геометричний образ рівняння на площині є пряма і навпаки, задана пряма на площині має рівняння попереднього вигляду.

Теорему доводять аналогічно.

У прямокутній декартовій системі координат перші два коефіцієнти {A,B} – координатами вектора, перпендикулярного до заданої прямої, тобто координати одного з нормальних векторів.