1.6. Дослідження многочленів з дійсними коефіцієнтами

Розглянемо многочлен з дійсними коефіцієнтами:

де є R.

Теорема 1. Якщо для многочлена f(z) із дійсними коефіцієнтами число α є комплексним коренем, то комплексно-спряжене число є також коренем цього многочлена.

Доведення. За умовою α – корінь многочлена f(z). Це означає, що

=0. (1.6.1)

Потрібно довести, що

=0.

З рівності (1.6.1) випливає

.

Застосовуючи властивості комплексно-спряжених чисел, отримаємо

Розглянемо довільне дійсне число β у множині комплексних чисел і знайдемо його комплексно-спряжене число.

Отже, дійсне число дорівнює своєму комплексно-спряженому числу. Тоді Отже – корінь.

Теорему доведено.

Теорема 2. Нехай задано многочлен з дійсними коефіцієнтами, його комплексний корінь кратності к, тоді число є корінь тієї ж кратності.

Довести теорему 2 самостійно (від супротивного).

2. Перетворення координат вектора при зміні базису, перетворення координат точки при зміні системи координат

2.1. Перетворення координат вектора

Розширимо поняття векторного простору, визначивши зовнішню операцію над множиною комплексних чисел. Отримаємо комплексний векторний простір.

Задамо в довільному дійсному або комплексному просторі два базиси:

та .

Розкладемо довільний вектор х за першим і другим базисами:

(2.1.1)

(2.1.2)

Знайдемо формули зв’язку чисел … із числами , … .

Для цього розкладемо вектори другого базису за векторами першого:

,

, (2.1.3)

.

Означення. Матрицею переходу від першого базису до другого називають матрицю, утворену з коефіцієнтів розкладання векторів другого базису за векторами першого базису, записаних у відповідні стовпці:

С = .

Матриця переходу має бути невироджена, тому що інакше між стовпцями матиме місце лінійна залежність, а тоді вектори другого базис будуть лінійно залежними,що суперечить означенню базису.

Підставимо рівності (2.1.3) в рівність (2.1.2):

або

(2.1.4)

Рівності (2.1.1) та (2.1.4) – розкладання одного й того ж вектора за одним і тим же базисом. Внаслідок єдності розкладання маємо:

,

, (2.1.5)

.

Таким чином, ми отримали, що "старі" координати вектора виражаються через "нові" лінійно з застосуванням рядків матриці переходу.

Отримаємо вираз нових координат вектора через його старі координати. Запишемо систему (2.1.5) у матричному вигляді. Розглянемо матрицю переходу С, матриці та :

Перемножимо матриці С та :

.

Отже система (2.1.5) може бути записана в матричному вигляді =x. Оскільки DetC≠0, то існує матриця, обернена до С, тоді

Отже, нові координати можна виразити також через старі лінійно за допомогою матриці,оберненої до матриці переходу.

2.2. Перетворення координат точки геометричного простору (площини) при зміні системи координат

Нехай у геометричному просторі задано афінну систему координат , деяку довільну точку М, що має координати (x,y,z) (координати вектора в даному базисі). Також нехай задано , у якій та сама точка М має координати (x’,y’,z’). Треба знайти зв’язок між числами (x,y,z ) та (x’,y’,z’), тобто зв’язок між координатами.

При дослідженні виникають три випадки.

1) Системи координат відрізняються лише початками (рис. 1):

Рис. 1

Нехай в першій системі координат має координати .

За означенням координат маємо

, , .

З векторної алгебри маємо

(2.2.1)

Формули називають формулами перенесення початку.

2. Системи координат мають спільний початок:

Рис. 2

За означенням координат точки маємо

Уданому випадку задача зводиться до зв’язку між координатами одного й того ж вектора у різних базисах. Ми розв’язали цю задачу в n-вимірному просторі в розділі 2.1, застосовуючи формулу 2.1.5 маємо:

(2.2.2)

Відповідь отримана через формули (2.2.2).

3) Загальний випадок (рис. 3). Системи координат , відрізняються й початками й базисами.

Побудуємо допоміжну систему координат

Рис. 3

Нехай точка М в допоміжній системі координат має такі координати (x*,y*,z*).

Розглянемо першу й допоміжну системи координат, вони відрізняються лише початками, ці системи знаходяться в умовах 1-го випадку. Тоді

(2.2.1’)

Розглянемо допоміжну й другу системи координат, вони мають спільний початок, ці системи знаходяться в умовах 2-го випадку,тому застосовуючи (2.2.2) одержимо:

(2.2.2’)

Підставимо рівності (2.2.2') в рівності (2.2.1'), одержимо:

(2.2.3)