10.2.2. Поняття ортогонального оператора
В евклідових просторах крім самоспряжених операторів важливий клас становлять ортогональні оператори.
Означення. Лінійний оператор називають ортогональним, якщо він задовольняє таку умову:
(10.2.2.1)
– одиничний
(тотожний) оператор
.
З’ясуємо деякі властивості ортогонального оператора.
Теорема
1.
Ортогональний оператор зберігає
скалярний добуток будь-яких векторів
евклідового простору
.
Доведення.
Подіємо ортогональним оператором
на довільні вектори х,
і розглянемо скалярний добуток образів
цих векторів. Тоді з означення спряженого
оператора й рівності (10.2.2.1)
маємо
)=(х,у),
що й треба було довести. Ця теорема має
важливі наслідки.
Наслідок
1.
Ортогональний оператор зберігає довжини
векторів, тобто
.
Наслідок 2. Ортогональний оператор зберігає кут між векторами.
Наслідок 3. Ортогональний оператор зберігає ортогональність векторів.
Із наслідків 1–3 випливає, що ортогональний оператор переводить ортонормований базис в ортонормований.
З’ясуємо питання про матрицю ортогонального оператора в ортонормованому базисі. Нехай ортогональний оператор у базисі
має матрицю
Тоді спряжений із ним оператор у цьому ж базисі має матрицю
.
Отже, для ортогонального оператора матриця, обернена до його матриці дорівнює транспонованій.
Крім того, з рівності (10.2.2.1) і безпосередньо з множення матриць випливають рівності
Таку матрицю називають ортогональною.
Теорема 2. Матриця переходу від одного ортонормованого до іншого ортонормованого базису є ортогональна.
Доведення. Нехай в евклідовому просторі задано два ортонормовані базиси:
Знайдемо матрицю переходу
Обчислимо
скалярний добуток
через координати векторів у першому
ортонормованому базисі:
Теорему доведеною.
10.3. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду шляхом переходу до нового ортонормованого базису
Нехай
в евклідовому просторі задано квадратичну
форму А(х,х).
А(х,у)
відповідна їй симетрична білінійна
форма. Тоді, розглянувши ортонормований
базис, можна побудувати такі лінійні
оператори
,
що
.
Внаслідок
симетричності матриці білінійної форми
матриця
,
тому оператор
.
Отже, оператор
самоспряжений. Тоді існує ортонормований
базис
,
складений з власних векторів оператора
:
(10.3.1)
Нехай у цьому базисі
.
Враховуючи лінійність оператора , рівність (10.3.1) і ортонормованість, базису маємо
.
Поклавши в останній рівності у=х, отримаємо
.
(10.3.2)
10.4. Застосування до теорії поверхонь другого порядку
Припустимо, що в деякій прямокутній системі координат поверхня S має рівняння
Члени
другого вимірювання утворюють квадратичну
форму. Шляхом переходом до нового
ортонормованого базису
зведемо цю квадратичну форму до
канонічного вигляду:
,
де
– власні значення матриці
– ортонормовані
власні вектори, що відповідають власним
значенням.
Тоді в цьому базисі рівняння поверхні набуває вигляду
. (10.4.1)
Розглянемо три випадки:
1) жодне не дорівнює нулю;
2) одне з дорівнює нулю;
3) два дорівнюють нулю.
1)
Нехай
.
Тоді подамо рівняння (10.4.1)
в вигляді
Здійснимо паралельне перенесення осей:
Тоді попереднє рівняння набуває такого вигляду:
(10.4.2)
Із
рівняння (10.4.2)
випливає, що разом з кожною своєю точкою
М
поверхня S
містить і симетричну точку
відносно нового початку. Таку поверхню
називають центральною.
Припустимо,
що
(якщо це не так, помножимо рівняння
(10.4.2)
на (–1)).
Нехай
. Тоді можуть мати місце описані нижче
випадки::
а)
При
рівняння (10.4.2)
можна записати так:
Це канонічне рівняння еліпсоїда.
б) При рівняння набуває вигляду
Це канонічне рівняння однопорожнинного гіперболоїда.
в)
При
рівняння (10.4.2)
може бути записано у вигляді
Це канонічне рівняння двопорожнинного гіперболоїда.
г)
При
рівняння (10.4.2)
може бути записано в вигляді
Це рівняння не задовольняють координати жодної точки (уявний еліпсоїд).
Нехай k=0.
а) Якщо одного знака, то рівняння (10.4.2) може бути записано у вигляді
Це
рівняння задовольняє лише одна точка
з координатами
(уявний конус).
б) різних знаків (k=0), тоді рівняння (10.4.2) може бути подано у вигляді
Це канонічне рівняння конуса.
2)
Одне з
дорівнює нулю. Нехай для визначеності
.
Тоді зробивши перенесення початку
системи координат за формулами
зведемо рівняння (10.4.1) до вигляду
(10.4.3)
а)
Нехай
.
Тоді рівняння (10.4.3)
має вигляд
(10.4.4)
Ці
рівняння циліндричної поверхні з
напрямною, яка в площині x" 0’ y" має
рівняння
.
Твірна цієї циліндричної поверхні
паралельна осі o’z".
В
залежності від знаків
рівняння (10.4.4) може бути або рівнянням
еліптичного циліндра
або гіперболічного циліндру
або порожньою множиною.
б)
Нехай
.
Тоді зробивши перенос початку системи
координат за формулами
зведемо рівняння (10.4.4) до вигляду
.
Якщо
,
то маємо еліптичний параболоїд, якщо
– гіперболічний параболоїд.
3)
Два
дорівнюють нулю. Нехай для визначеності
.
Тоді рівняння (10.4.1) набуває вигляду
. (10.4.5)
Зробимо перенесення початку системи координат за формулами
Тоді рівняння (10.4.5) можна звести до вигляду
.
(10.4.6)
а)
Нехай
Тоді рівняння (10.4.6)
набуває вигляду
.
При
це рівняння пари паралельних площин,
при с=0 – пари площин, що збігаються, та
при
– уявних площин.
б)
Нехай принаймні один із коефіцієнтів
не дорівнює нулю. Зробимо перехід до
нового базису (також ортонормованому)
з ортогональною матрицею переходу
Перетворення координат здійснимо за формулами
Тоді рівняння (10.4.6) зводиться до вигляду
.
Шляхом перенесення початку системи координат за формулами
зведемо останнє рівняння до рівняння параболічного циліндра
.