10.2. Деякі класи лінійних операторів у евклідовому просторі

10.2.1. Самоспряжені (симетричні) оператори

Нехай задано евклідів простір, у якому діє лінійний оператор .

Означення. Оператор називають самоспряженим, якщо він збігається зі спряженим із ним оператором .

Оскільки матриця оператора в ортонормованому базисі може бути отримана з матриці лінійного оператора транспонуванням, то

Тому . Тобто матриця самоспряженого оператора в ортонормованому базисі є симетрична. У зв’язку з цим самоспряжений оператор також називають симетричним.

Теорема 1. Власні значення самоспряженого оператора є дійсні числа.

Доведення. Припустимо супротивне: самоспряжений лінійний оператор має комплексне власне значення Нехай у базисі оператор має матрицю . Тоді для знаходження координат власного вектора треба розв’язати таку систему рівнянь:

(10.2.1.1)

Нехай – деякий ненульовий комплексний розв’язок системи (10.2.11.). Тоді з означення розв’язку випливає правильність таких рівностей:

(10.2.1.2)

і

(10.2.1.3)

Розглянемо вектори Тоді рівності (10.2.1.2) і (10.2.1.3) – координатна форма запису векторних рівностей.

Обчислимо скалярні добутки:

(10.2.1.4)

(10.2.1.5) Оскільки оператор самоспряжений, то Тому віднявши від рівності (10.2.1.5) рівність (10.2.1.4) маємо

(10.2.1.6)

Оскільки власний вектор є нульовий, то принаймні одне з чисел а_і, b_i не дорівнює нулю. Тому (а,а)+(b,b)≠0. Тоді з рівності (10.2.1.6) випливає, що β=0, а це суперечить припущенню. Отже, .

Теорема 2. Нехай х – власний вектор самоспряженого оператора , що діє в заданому евклідовому просторі. Тоді множина всіх векторів у, ортогональних вектору х, утворює (n–1) – вимірний підпростір, інваріантний відносно оператора .

Доведення. Розглянемо множину . Доведемо, що М є підпростір εⁿ. Для цього треба довести два положення:

1) якщо , то ;

2) якщо , k – число, то .

Доведемо перше твердження. Нехай , . Це означає, що

Доведемо, що

(10.2.1.7)

За означенням скалярного добутку маємо

Рівність (10.2.1.7) означає, що . Так само можна довести друге твердження.

Доведемо тепер, що М – підпростір інваріантний відносно оператора . Для цього треба довести, що з умови випливає таке . Отже, нехай , тобто

З означення самоспряженого оператора маємо . У зв’язку з тим, що х – власний вектор, із урахуванням рівності (10.2.1.7) маємо

.

Тобто вектор також ортогональний до вектора х, а тому . Теорему доведено.

Зауваження. Із теореми 2 випливає, що самоспряжений оператор можна вважати як такий, що діє в підпросторі векторів, ортогональних даному власному вектору.

Теорема 3. Самоспряжений оператор має n попарно ортогональних власних векторів.

Доведення. Нехай самоспряжений оператор діє в евклідовому просторі. Тоді він має принаймні одне власне значення , яке згідно з теоремою 1 є дійсне число. Побудуємо один із власних векторів х₁, який відповідає цьому власному значенню. Далі розглянемо всі вектори х, ортогональні до х₁. Згідно з теоремою 2 вони утворюють підпростір, інваріантний відносно оператора . Тобто оператор діє в підпросторі М₁ векторів, ортогональних до х₁. Тому в цьому підпросторі він має власний вектор х₂, що відповідає деякому власному значенню . Далі розглянемо множину векторів даного підпростору, ортогональних до х₂. Вони також утворюють підпростір М₂, інваріантний відносно . Таким чином, побудуємо систему попарно ортогональних власних векторів:

.

Теорему доведено.

Відомо, що система ненульових попарно ортогональних векторів лінійно незалежна. Тоді з теореми 3 і означення власного вектора випливає, що матриця самоспряженого оператора може бути зведена до діагонального вигляду.

Якщо ж ортогональний базис із власних векторів пронормувати, то отримаємо ортонормований базис. Тоді згідно з результатами цього та попереднього розділів маємо теорему.

Теорема 4. Для самоспряженого оператора існує ортонормований базис, у якому його матриця діагональна й дійсна.