1.3. Корені многочленів

Нехай задано многочлен .

Означення. Число називають коренем многочлена f(z), якщо

f( )= .

Теорема Безу. Остача від ділення многочлена на многочлен спеціального вигляду дорівнює значенню многочлена при , тобто .

Доведення. Застосуємо теорему про ділення многочлена з остачею до многочленів та Тоді існують такі , що

, (r(z)=r),

причому або або степінь менша за степінь многочлена .

Розглянемо при при z=с:

.

Наслідок. Для того щоб число було коренем многочлена f(z), необхідно й достатньо, щоб f(z) ділився на без остачі.

Доведення. Необхідність.

Нехай корінь многочлена f(z), тобто f( )=0. Застосуємо до f(z) і g(z)=z–c теорему про ділення з остачею. За теоремою Безу r=f(α)=0. Отже, f(z) ділиться на (z–с) без остачі.

Достатність доведіть самостійно.

У зв’язку з тим, що пошук коренів пов’язаний з теорією подільності, виникає питання найбільш оптимального ділення многочлена на многочлен . Для цього опишемо і обґрунтуємо схему ділення, яку називають схемою Горнера.

Задамо . Поділимо на : .

Нехай

Порівняємо коефіцієнти при рівних степенях z:

……………………………………………………………………………………….

Результати подамо як схему Горнера:

				…
				…

За схемою Горнера можна розв’язувати такі задачі:

1) ділення (знайти частку і остачу) многочлен f(z) на (z-c);

2) знаходження значення многочлена при z=c;

3) пошук значення похідних без знаходження їх самих;

4) випробовування чисел на корені;

5) знаходження кратності кореня;

6) розкладання многочлена за формулою Тейлора.

Розглянемо поняття k-кратного кореня многочлена.

Означення. Число α називають k-кратним коренем многочлена f(z), якщо f(z) ділиться на (z-α)^k і не ділиться на (z-α)^k+1 .

Щоб отримати умову існування k-кратного кореня, треба знати поняття похідної від многочлена.

Многочлен, являє собою комплексну функцією комплексної змінної, оскільки змінна z і коефіцієнти при степенях z – комплексні числа. Хоча формально поняття границі для комплексної функції комплексної змінної не відрізняється від поняття границі для дійсної функції, фактично воно стає більш жорстким. Це пов’язано з тим, що околом точки для дійсної змінної є інтервал, а околом у комплексній області є відкритий круг. Тому ми не можемо використати знання з математичного аналізу за перший курс. Через це ми незалежно від математичного аналізу введемо поняття похідної многочлена (як з’ясується на старших курсах воно узгоджується з відповідними поняттями функції комплексної змінної).

Означення. Похідною многочлена називають многочлен f‘(z)=n∙a₀ z^n-1 +(n-1)∙a₁∙z^n-2+(n-2)∙a₂∙z^n-3 +...+a_n-1.

Виходячи з означення похідної для многочлена можна довести такі правила знаходження похідної:

1,2) ( f(z) g(z) )’ =f ‘(z) g ‘(z).

3) ( f(z) ∙ g(z) )’ =f ‘(z) ∙ g(z)+ g ‘(z) ∙ f(z).

Теорема. Нехай α – k-кратний корінь многочлена f(z). Тоді α є корінь кратності k-1 для його похідної f ‘(z).

Доведення. Припустимо, що α – k-кратний корінь, тоді

.

Потрібно довести, що

f ‘(z) (z-α)^k–1 і f ‘(z) не (z-α)^k.

Виходячи з правил обчислення похідних маємо

Це означає, що f ‘(z) (z-α)^k-1.

Залишилося довести, що f ‘(z) не (z-α)^k.

Позначимо

Припустимо супротивне: що Q(z) (z - α).

Тоді

За припущенням Q(z) (z-α) , а тоді і q(z) (z- α) , а це суперечить тому, що

f(z) не (z-α)^k+1 . Маємо суперечність. Теорему доведено.