8. Лінійні та білінійні форми

8.1. Поняття лінійної і білінійної форм

Розглянемо дійсний лінійний простір .

Означення.У дійсному лінійному просторі задано лінійну форму, якщо кожному вектору можна поставиться у відповідність дійсне число і виконуються дві умови:

1) ;

2)

Приклад 1. Розглянемо простір геометричних векторів. – лінійна форма, оскільки проекція суми дорівнює сумі проекцій і проекція добутку вектора на число дорівнює добутку цього числа на вектор.

Приклад 2. Простір неперервних в проміжку [a,b] функцій. Лінійну форму введемо за правилом .

Означення. Говоритимемо, що в просторі задано білінійну форму, якщо будь-якій упорядкованій парі векторів можна поставити у відповідність число А(х,у) і ця числова функція двох векторних аргументів є лінійною формою за першим аргументом при фіксованому другому і є лінійною формою за другим при фіксованому першому аргументі. Тобто виконуються такі умови:

1)A(x+z,y)=A(x,y)+A(z,y);

2) A(kx,y)=kA(x,y);

3)A(x,y+z)=A(x,y)+A(x,z);

4)A(x,ky)=kA(x,y).

Наприклад, у просторі геометричних векторів скалярний добуток є білінійною формою.

8.2. Матриця білінійної форми в заданому базисі Координатний запис білінійної форми

Нехай у дійсному просторі задано білінійну форму А(х,у). Задамо в цьому просторі базис е₁ ,е₂ ,..е_n. Розкладемо вектори х та у за базисом:

х=х₁е₁ +….х_nе_n,

y=y₁е₁ +….y_nе_n.

Розглянемо А(х,у)=( х₁е₁ +….х_nе_n,у)= х₁ А(е₁,у)+…+ х_nА(е_n,у)=

= х₁А(е₁,у₁е₁,+…+ у_nе_n)+

+ х₂А(е₂,у₁е₁,+…+ у_nе_n)+

…………………………

+ х_nА(е_n,у₁е₁,+…+ у_nе_n).

Отже, А(х,у)=х₁ у₁ А(е₁ ,е₁)+ х₁ у₂ А(е₁ ,е₂)+…+ )+ х₁ у_nА(е₁ ,е_n)+

+ х₂ у₁ А(е₂ ,е₁)+ х₂ у₂ А(е₂ ,е₂)+…+ )+ х₂у_n А(е₂ ,е_n)+

………….................…………………………

+ х_nу₁ А(е_n,е₁)+ х_2n у₂ А(е_n,е₂)+…+ )+ х_nу_nА(е_n,е_n).

Введемо поняття матриці білінійної форми.

Означення. Матрицею білінійної форми в базисі е₁,е₂,..е_n називають матрицю складену за таким законом:елемент a_{ij ,}розташований в і-му рядку та j-му стовпці, дорівнює значенню білінійної форми від і-го та j-го базисних векторів.

a_ij=А(е_i,е_j).

Отримали координатний запис білінійної форми, який можна подати в скороченому вигляді А(х,у)= .

З’ясуємо, як пов’язані між собою матриці однієї і тієї ж білінійної форми у двох різних базисах.

Нехай у базисі е₁ ,е₂ ,..е_n білінійна форма має матрицю А=(a_ij), , а в іншому базисі – матрицю .

Доведено, що ці матриці пов’язані такою формулою:

= А С,

де С – матриця переходу від першого базису до другого; С^/ – транспонована до С матриця, причому .

Означення. Білінійну форму А(х,у) називають симетричною, якщо А(х,у)=А(у,х) .

Приклад. Симетричною білінійною формою є скалярний добуток у геометричному векторному просторі.

З означення матриці білінійної форми випливає, що матриця симетричної білінійної форми симетрична, тобто a_ij=А(е_i,е_j)= А(е_j,е_i)= a_ji.

8.3. Квадратична форма в дійсному просторі

Означення. Квадратичною формою називають симетричну білінійну форму А(х,у), у якій покладено . Її позначають .

Розглянемо координатний запис квадратичної форми. Для цього задамо базис е₁ ,е₂ ,..е_n, обчислимо матрицю відповідної білінійної форми А(е_i,е_j)= a_ij. Розглянемо координатний запис білінійної форми поклавши у=х(х=х₁е₁+…+х_nе_n):

А(х,х)=а₁₁х₁²+ а₁₂х₁х₂…+ а_1n х₁х_n+

+ а₂₁х₁²+ а₂₂х₂²…+ а_2n х₂х_n+

………………………………………… (8.3.1)

+ а_n1х₁²+ а_n2х₂²…+ а_nnх_n² .

Отже, координатний запис квадратичної форми є сума квадратів n змінних х_і і всіляких їх попарних добутків, взятих із деякими коефіцієнтами.

Означення. Канонічним виглядом квадратичної форми називають такий її координатний вигляд, у якому відсутні попарні добутки.

Теорема Лагранжа. Будь-яку квадратичну форму шляхом переходу до нового базису можна звести до канонічного вигляду.

Доведення. Нехай квадратична форма А(х,х)у деякому базисі е₁,е₂,..е_n має координатний вигляд (8.3.1).

У ході доведення теореми слід розглянути два різні випадки.

1. В координатному вигляді є принаймні один квадрат, тобто a_ii≠0

2. Усі a_ii=0 (і=1,2…,n).

1. Для визначеності нехай . Застосуємо метод математичної індукції. При n=1 теорема очевидна, оскільки А(х₁х)=а_nx₁². Зробимо індуктивне припущення: квадратичну форму від (n-1) змінних можна звести до канонічного вигляду. Доведемо це твердження для квадратичної форми від n змінних.

Виберемо в координатному записі всі члени, що містять х₁, тоді А(х,х) можна подати у вигляді

(8.3.2)

де – квадратична форма від (n-1) змінної.

Доповнимо дужки до повного квадрата:

Додамо в дужки рівності (8.3.1) виділене і поза дужками віднімемо:

.

Звівши подібні, отримаємо

де – квадратична форма від (n-1) змінної.

До форми можна застосувати індуктивне припущення: існує перехід від базису до базису , у якому квадратична форма має такий канонічний вигляд:

При цьому нехай нові координати через старі виражають так:

...................................................

Матриця буде невироджена, оскільки обернена до матриці переходу.

Зробимо в n-вимірному просторі перехід до нового базису, за якого нові координати вектора x виражаються через старі за формулами

У цьому новому базисі квадратична форма А(хх) набуває такого вигляду:

Отже, отримали канонічний вигляд. Доведемо законність переходу. Для цього треба довести, що визначник перетворення не дорівнює 0.

Застосуємо наслідок з теореми Лапласа:

Законність переходу доведено. Отже, в цьому випадку теорему доведено.

2. Усі a_ii=0 (і=1,2…,n). Розглянемо два випадки:

_а)

У цьому випадку теорема очевидна.

б)

Нехай для визначеності , тобто … . Тоді завжди можна здійснити стандартний перехід до нового базису за якого старі координати вектора виражаються через нові таким чином:

Тоді в новому базисі

Отже, в координатному записі маємо квадрат змінної. Задачу зведено до попереднього випадку.

Доведемо законність попереднього переходу. Обчислимо детермінант матриці переходу. Застосуємо до перших двох рядків теорему Лапласа:

Законність переходу доведено. Теорему доведено.

З’ясуємо, коефіцієнтів, які не дорівнюють нулю має квадратична форма в канонічному вигляді.

Нехай у базисі квадратична форма має такий координатний вигляд:

, .

Після переходу до нового базису за теоремою Лагранжа квадратична форма A(x,x) набуває до канонічного вигляду.

Доведемо, що в останній рівності існує лише , які не дорівнюють, ( – ранг матриці ).

Відомо, що при переході від одного базису до іншого ранг матриці зберігається, тому

Це означає, що в матриці найвищий порядок мінора, не рівного нулю, дорівнює , тобто діагональних елементів, не рівних нулю, буде лише .

Проведемо класифікацію квадратичних форм.

Нормальний вигляд квадратичної форми.

Означення. Нормальним виглядом квадратичної форми називають такий її канонічний вигляд, у якому коефіцієнти, не рівні нулю, можуть набувати лише двох значень: 1 та –1.

Теорема. Будь-яку квадратичну форму можна звести до нормального вигляду.

Нехай у базисі квадратична форма має вигляд

Шляхом переходу до базису (за теоремою Лагранжа) можна її звести до вигляду

(i = 1, 2, …, n).

Зробимо перехід до ще одного базису , за якого координати перетворюються за такими формулами:

,

......................

..................

В новому базисі квадратична форма набуває вигляду

Отже, отримали нормальний вигляд квадратичної форми.

Хоч канонічний вигляд квадратичної форми визначається неоднозначно, нормальний вигляд визначається однозначно.

Теорема (закон інерції дійсних квадратичних форм). Яким би способом квадратична форма не зводилась до нормального вигляду, кількість коефіцієнтів зі значенням +1 і –1 визначаються однозначно.

Означення. Кількість членів із коефіцієнтом +1 називають додатним індексом інерції квадратичної форми, кількість членів із коефіцієнтом –1 називають від’ємним індексом інерції. Різницю між додатним і від’ємним індексом інерції називають сигнатурою квадратичної форми.

Нехай квадратична форма задана в n-вимірному дійсному просторі.

Означення. Квадратичну форму , задану в n-вимірному просторі, називають додатно визначеною, якщо її додатний індекс інерції дорівнює n.

Означення. Квадратичну форму , задану в n-вимірному просторі, називають від’ємно визначеною, якщо її від’ємний індекс інерції дорівнює n.

Означення. Квадратичну форму називають додатно визначеною, якщо .

Означення. Квадратичну форму називають від‘ємно визначеною, якщо .

Означення. Квадратичну форму називають напіввизначеною додатною (знакосталою додатною), якщо .

Означення. Квадратичну форму називають напіввизначеною від’ємною (знакосталою від’ємною), якщо .

Означення. Квадратичну форму називають невизначеною, якщо для деяких вона набуває додатних, для деяких – від’ємних, для деяких – нульових значень.

Якщо розглядати у 2-вимірному просторі, то ця квадратична форма є додатно визначена, але якщо розглядати в просторі , то вона напіввизначена додатна.

Застосовуючи означення, іноді важко з’ясувати, чи є форма додатно визначена. Наведемо деякі критерії додатної та від’ємної визначеності форми. Для того щоб їх сформулювати, дамо поняття головних мінорів квадратичної форми.

Нехай квадратична форма в деякому базисі має матрицю

, причому .

Означення. Головними мінорами матриці А, а також відповідної квадратичної форми називають мінори різних порядків, розташовані в лівому верхньому куті.

Критерій Сильвестра: щоб квадратична форма була додатно визначена, необхідно й достатньо виконання таких умов: (щоб усі головні мінори були додатні).

Критерій від’ємної визначеності: щоб квадратична форма була від’ємно визначена, необхідно й достатньо, щоб виконувалися такі умови: (щоб знаки головних мінорів чергувалися).

Ці два твердження (принаймні достатність) негайно випливають з теореми Якобі. Наведемо цю теорему без доведення.

Теорема Якобі. Якщо матриця квадратичної форми невироджена, то існує базис, у якому квадратичну форму можна звести до такого канонічного вигляду:

Тоді (за допомогою цієї теореми) легко довести достатність критерію Сильвестра. Якщо , то зрозуміло, що в канонічному вигляді квадратичної форми всі n коефіцієнтів будуть додатні, а тому додатний індекс інерції буде рівний .

Якщо ж , то за допомогою методу Якобі квадратичну форму можна звести до канонічного вигляду, у якому всі коефіцієнтів від’ємні, а тому від’ємний індекс інерції дорівнює n і квадратична форма є від’ємно визначена.