7.4. Жорданова форма матриці

Найпростіший вигляд матриці лінійного оператора – діагональний. Але не завжди шляхом переходу до нового базису матрицю лінійного оператора можна звести до діагонального вигляду. З’ясуємо, до якого вигляду і за яких умов можна звести цю матрицю. Введемо поняття жорданової клітини.

Означення. Жордановою клітиною порядку k називають квадратну матрицю k-го порядку, такого вигляду

Означення. Жордановою формою матриці називають матрицю вигляду ,

де – жорданові клітини, що відповідають числам . Тобто

Отже, матрицю можна записати у такому вигляді

Тобто ця матриця "майже діагональна".

Теорема. Для того,щоб матрицю лінійного оператора з елементами поля Р можна було звести до жорданової форми, необхідно й достатньо, щоб усі характеристичні корені матриці належали цьому полю.

Із цієї теореми випливає, що матрицю лінійного оператора, який діє в дійсному лінійному просторі, не завжди можна звести навіть до жорданової форми. Якщо ж оператор діє в комплексному просторі, то його матрицю можна звести до жорданової форми.

7.5. Алгебра лінійних операторів

Розглянемо множину лінійних операторів, що діють у заданому лінійному просторі над полем Р. У цій множині введемо три операції: додавання лінійних операторів, множення лінійних операторів на елемент поля Р, множення лінійних операторів.

Означення 1. Сумою лінійних операторів називають такий оператор , який діє за правилом

.

Оператор суми позначають так

Означення 2. Добутком оператора на елемент називають оператор , який діє за правилом

У цьому випадку вводять позначення .

Означення 3. Добутком двох лінійних операторів називають оператор , який діє за правилом

Добуток двох лінійних операторів позначають . Слід зауважити, що оператори є лінійні. Доведемо це, наприклад, для оператора . Для оператора треба довести виконання двох умов:

.

З означення добутку двох лінійних операторів і означення лінійного оператора випливає доведення першої умови:

Аналогічно доводять виконання другої умови.

Можна довести, що множина всіх лінійних операторів, яка діє в заданому лінійному просторі, утворює лінійний простір над полем Р.

Можна також довести, що відносно операцій додавання й множення множина всіх лінійних операторів, яка діє в заданому просторі, є кільце.

З останніх двох тверджень випливає, що множина всіх лінійних операторів, що діють у заданому просторі, є алгебра над полем Р.

З’ясуємо питання про матриці лінійних операторів у деякому базисі . Нехай оператори мають у цьому базисі матриці . Доведемо, що для оператора матриця C=AB.

Для знаходження матриці С подіємо оператором на базисні вектори:

З означенням матриці лінійного оператора маємо

Із двох останніх рівностей на підставі єдиності розкладання вектора за векторами базису маємо

Тобто С=АВ. Таким чином, матриця добутку двох лінійних операторів дорівнює добутку матриць. Ще простіше довести:

1. Матриця суми двох лінійних операторів дорівнює сумі матриць операторів .

2. Матриця оператора дорівнює добутку елемента на матрицю А.