7.2. Характеристична матриця. Характеристичний многочлен. Характеристичні корені даної матриці

Розглянемо матрицю.

.

Означення. Характеристичною матрицею матриці А називають матрицю Е ( – числовий параметр)

.

Означення. Характеристичним многочленом матриці А називають детермінант її характеристичної матриці.

.

Тобто це є многочлен відносно змінної .

Означення. Характеристичними коренями матриці називають корені її характеристичного многочленна.

Означення. Дві матриці А і В називають подібними, якщо існує така матриця (невироджена), що (або ).

З цього означення випливає, що матриці одного і того ж лінійного оператора в двох різних базисах є подібними.

Теорема. Подібні матриці мають однакові характеристичні корені.

Доведення. Нехай задано дві подібні матриці А і В. Тоді за означенням

. Складемо характеристичну матрицю до матриці В:

.

Отже, .

Розглянемо характеристичний многочлен цих матриць:

.

Отже ми довели, що подібні матриці мають однакові характеристичні многочлени, а тому і однакові характеристичні корені.

7.3. Власні вектори та власні значення лінійного оператора

Нехай у просторі діє оператор .

Означення. Підпростір називають інваріантним відносно оператора , якщо для будь-якого вектора .

Означення. Власним напрямком лінійного оператора називають одновимірний інваріантний відносно оператора підпростір.

Означення. Власним вектором лінійного оператора називається ненульовий вектор, що належить власному напрямку.

Отримаємо інше, більш конструктивне означення власного вектора.

Нехай – власний напрямок, тоді будь-який ненульовий вектор х, що належить буде власним вектором. Оскільки одновимірний, то до базису цього підпростору входить один вектор. Візьмемо за базис будь-який ненульовий вектор х. Подіємо оператором на цей вектор х, ( – інваріантний підпростір). Тоді можна розкласти за базисом ( – поле, над яким визначено ). таким чином, можна дати інше означення власного вектора.

Означення. Власним вектором оператора називають ненульовий вектор х, який оператор переводить в пропорційний йому вектор, при цьому коефіцієнт пропорційності називають власним значенням оператора (що відповідає власному вектору х): .

Поставимо задачу про знаходження власних векторів і власних значень лінійного оператора.

Нехай у просторі діє лінійний оператор .

Треба знайти такий ненульовий вектор у просторі , що задовольняє умову

Задамо в просторі базис . Тоді невідомий вектор можна розкласти за базисом:

.

Отже задача полягає в знаходженні .

Нехай у базисі оператор має матрицю

.

Тоді у зв’язку з єдиністю розкладання маємо

……………..

Враховуючи формулу (7.1.6), одержимо

,

Звідси отримаємо

(7.3.1)

Маємо однорідну систему рівнянь із невідомими та деяким параметром .

Ми шукаємо координати власного вектора, який за означенням є ненульовий. Тому треба вибрати параметр таким чином, щоб система (7.3.1) мала ненульовий розв’язок. Для цього потрібно, що

=0. (7.3.2)

Звідси виходить,що власні значення лінійного оператора являє собою характеристичні корені його матриці.

Нехай – один з коренів рівняння (7.3.2). Знайдемо власні вектори,що відповідають даному власному значенню. Для цього підставимо в систему і отримаємо

(7.3.3)

Зауважимо,що система (7.3.3) має безліч розв’язків, але лінійно незалежних серед них (фундаментальна система). Проведемо подальше дослідження характеристичного рівняння. Розглянемо спочатку дійсний лінійний простір. Можливі такі випадки:

1. Рівняння (7.3.2) не має дійсних коренів, а лінійний оператор не має власних значень і власних векторів у дійсному просторі.

2. Рівняння (7.3.2) має різних дійсних коренів,тобто ( ), тоді, розв’язавши систему рівнянь (7.3.3) для кожного з , знайдемо по одному власному вектору. Позначимо ці вектори , причому

Лема. Власні вектори, що відповідають різним власним значенням, лінійно незалежні.

Доведення. Нехай – лінійний оператор, – власний вектор,що відповідає значенню , власний вектор відповідає , … власний вектор . Треба довести, що ... є лінійно незалежні.

Застосуємо метод математичної індукції.

1) при , і твердження є очевидним.

2) Зробимо індуктивне припущення . Тобто вважаємо правильним твердження, що векторів, які відповідають різним власним значенням, є лінійно незалежні.

3) Доведемо дане твердження при . Розглянемо власні вектори . Припустимо супротивне, що вони лінійно залежні, тоді виконується рівність

. (7.3.4)

Нехай , подіємо лінійним оператором на вектора рівності (7.3.4) і отримаємо

.

Оскільки х₁, х₂,…х_k+1 – власні вектори, то

. (7.3.5)

Помножимо рівність (7.3.4) на ( і додамо до рівності (7.3.5):

Це означає, що лінійно залежні, а це суперечить індуктивному припущенню.

Застосувавши лему, доходимо висновку, що вектори – лінійно незалежні. Оскільки цих векторів , то їх можна взяти за базис.З’ясуємо,яку матрицю має лінійний оператор у новому базисі.

Подіємо оператором на цей базис і розкладемо отримані вектори за векторами нового базису:

Отже, у новому базисі із власних векторів оператор А має діагонально матрицю, причому на діагоналі знаходяться власні значення

.

3. Усі власні значення дійсні, але серед них є рівні, тобто характеристичне рівняння має кратні корені.

а) У ході розв’язання для кожного системи рівнянь (7.3.3), може трапитись, що загалом лінійно незалежних власних векторів . Це пов’язане з тим,що фундаментальна система містить розв’язків. Нехай це будуть вектори . Оскільки їх , то з них можна утворити базис. Тоді, як і в попередньому випадку,матриця лінійного оператора в цьому базисі буде діагональна. Різниця полягає лише в тому, що елементи по діагоналі можуть повторюватися стільки разів, скільки лінійно-незалежних власних векторів відповідає даному .

б) Якщо ж після знаходження фундаментальної системи розв’язків для кожного лінійно незалежних власних векторів менше за , то матрицю лінійного оператора не можна звести до діагонального вигляду.

4. Не всі корені характеристичного рівняння є дійсні, в дійсному просторі не можна скласти базис з власних векторів і не можна звести матрицю лінійного оператора до діагонального вигляду.

Провівши аналогічні дослідження характеристичного рівняння в комплексному просторі дійшли висновку, що випадки 1. та 4. неможливі, а дослідження випадків 2. і 3. проводяться так само.