6.4. Поняття тіла, поля, алгебри

Означення. Ненульовим кільцем називають кільце, що містить крім нульового елемента принаймні ще один елемент.

Означення. Тілом називають ненульове кільце, у якому всі ненульові елементи утворюють групу відносно множення.

Означення. Якщо операція множення в тілі комутативна, то тіло називають комутативним.

Означення. Полем називають комутативне тіло.

Зауважимо, що в полі немає дільників нуля (доведіть самостійно).

Приклади. Множина N натуральних чисел не є поле, множина раціональних, дійсних і комплексних чисел є полем, множина матриць і множина многочленів не є поле. Множина {0} – не поле. Множина (приклад 10 пункту 6.3) є поле. Кільце лишків за простим модулем є є поле, а складеним модулем m не є поле, оскільки в полі немає дільників нуля.

Побудуємо поле лишків за модулем 5. Складемо таблицю додавання і множення поля лишків за модулем .

	0	1	2	3	4			0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4		0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	0		1	0	1	2	3	4
2	2	3	4	0	1		2	0	2	4	1	3
3	3	4	0	1	2		3	0	3	1	4	2
4	4	0	1	2	3		4	0	4	3	2	1

Введемо поняття алгебри над даним полем. Розглянемо множину А і поле Р.

Означення. Множина А називається алгеброю над полем Р, якщо в ній визначені дві внутрішні операції і одна зовнішня над полем Р. Відносно внутрішніх операцій множина А є кільцем, відносно першої внутрішньої операції(додавання) і зовнішньої операції множина А– векторним простором. Внутрішнє і зовнішнє множення задовольняє умову

.

7. Лінійний оператор

7.1. Лінійний оператор. Матриця лінійного оператора

Узагальнимо поняття лінійного простору. Зовнішню операцію введемо не тільки над полем дійсних і комплексних чисел, а й над довільним полем.

Означення 1. Говоритимемо, що у векторному просторі V над полем Р діє оператор , якщо, будь-якому вектору можна поставиться у відповідність однозначно визначений вектор .

Означення 2. Оператор , що діє в даному просторі, називають лінійним, якщо він задовольняє дві умови:

1. – умова адитивності;

2. – умова мультиплікативності.

Приклад. Розглянемо тривимірний простір геометричних векторів. Оператор введемо за таким правилом: кожному вектору поставимо у відповідність його векторну проекцію на площині .

.

Легко довести, що цей оператор лінійний.

Приклад. Розглянемо простір многочленів степеня, меншого за n або рівного .

Оператор введемо за таким правилом: . Легко довести, що цей оператор лінійний, бо похідна суми многочленів рівна сумі похідних.

Приклад. Розглянемо простір неперервних у проміжку функцій. Оператор введемо за правило . Оскільки інтеграл зі зміною верхньою межею є неперервна функція, то оператор діє в просторі неперервних функцій.

Доведемо, що він є лінійний.

1)

2) – доводять аналогічно.

За своїм характером лінійний оператор може бути різний і застосовуваний у різних галузях математики. Але з позицій алгебри всі оператори, що діють ускінченно-вимірному лінійному просторі, однакові, їх можна задати за допомогою матриць.

Задамо в цьому просторі базис .Зафіксуємо вектор та подіємо на нього оператором : . Розкладемо х та за базизом:

(7.1.1)

(7.1.2)

Знайдемо зв’язок між координатами вектора х і вектора . З рівності (7.1.1) за означенням 2 маємо:

(7.1.3)

Розкладемо вектори за базисом:

(7.1.4)

Маємо n чисел із яких утворюється матриця

.

Означення. Матрицею лінійного оператора в базисі називають матрицю, складену з коефіцієнтів розкладання (координат) векторів за векторами ,записаних у відповідні стовпці.

Підставимо рівності (7.1.4) в рівність (7.1.3), отримаємо

_(7.1.5)

Порівняємо рівності (7.1.2) та (7.1.5), вони являють собою розкладання одного й того ж вектора за одним і тим же базисом.Внаслідок єдиності розкладання маємо

(7.1.6)

Ми отримали зв’язок між координатами вектора х і координатами вектора . Цей закон лінійний.

Нехай у басизі оператор має матрицю , а в базисі , матрицю , . Тоді матриці А і пов’язані формулою , де С – матриця переходу від першого базису до другого.