5.5. Спрощення нецентральних кривих

Розглянемо нецентральну криву (1):

.

Це крива параболічного типу. Її спрощення передбачає два етапи.

1. Поворот осей. Було доведено, що завжди існує поворот на такий кут , за якого в загальному рівнянні кривої "зникає" член, що містить попарний добуток нових координат. Цей кут можна знайти з рівняння

При цьому, як відомо, координати точки перетворюються за формулами:

Тоді в новій системі координат рівняння має вигляд:

(5.5.1)

Доведемо, що в результаті цього перетворення зникає також член, що містить один із квадратів. Розглянемо інваріант :

=

З цього випливає, що одне з чисел дорівнює нулю (за теоремою про інваріантність порядку обидва числа не можуть бути рівні нулю).

Нехай для визначеності Тоді рівняння набуває вигляду:

(5.5.2)

Для здійснення другого етапу попередньо отримаємо важливе співвідношення. Знайдемо інваріант у новій системі координат:

.

Обчислимо цей визначник = - ; Звідси випливає, що

тоді і тільки тоді, коли

2. Перенесення початку в деяку точку О’ (рис. 14).

Рис. 14

1) Нехай тоді

Доповнимо до повного квадрата ліву частину рівняння (5.5.2), поділивши попередньо рівняння на

;

де ; ;

=2 .

Перенесемо початку в точку О’(0, ) за формулами

=p x’’. Маємо канонічне рівняння параболи.

2) Нехай інваріант

Рівняння (5.5.2) має вигляд:

Доповнимо ліву частину рівняння до повного квадрата:

; де

Перенесемо початок за формулами:

Рівняння кривої набуває такого вигляду:

В залежності від значення d мають місце три випадки:

а) .

Отримуємо

У цьому випадку нецентральна крива вироджується в пару паралельних прямих.

б)

=0;

У цьому випадку крива вироджується в пару прямих, що збігаються.

в) Жодна точка не задовольняє дану рівність. Цей випадок називають парою уявних паралельних прямих.

6. Алгебраїчні структури

6.1. Поняття групи

Означення. Говоритимемо, що у множині М визначена бінарна внутрішня операція , якщо будь-якій упорядкованій парі елементів х, у множини М можна поставити у відповідність однозначно визначений елемент множини М, що умовно позначається х у. Елемент х у називають композицією елементів х,у.

Означення. Непорожню множину G називають групою, якщо в ній виконується чотири умови:

1. В G визначена бінарна внутрішня операція , тобто:

.

2. Операція асоціативна .

3. У множині існує так званий нейтральний елемент , тобто такий елемент, який у композиції з елементом не змінює його

.

4. ,тобто такий елемент, що x = х=е.

Якщо операцію названо додаванням, то групу називають адитивною.

Якщо операцію названо множенням, то групу називають мультиплікативною.

В адитивній групі нейтральний елемент називають нульовим, а обернений – протилежним.

У мультиплікативній групі нейтральний елемент називають одиницею, а обернений – оберненим.

Означення. Групу називають абельовою або комутативною, якщо групова операція комутативна.

Означення. Порядком групи називають кількість елементів, що входить у групу.

Приклад 1. Множина , у якій за операцію взято операцію додавання, не являє собою групу, оскільки в ній принаймні немає нейтрального елемента відносно додавання.

Множина натуральних чисел не є групою і відносно операції множення через невиконання умови 4.

Приклад 2.

а) Розглянемо множину цілих чисел Усі чотири умови означення групи виконуються. Це є адитивна абельова група нескінченного порядку.

б)Множина Z не є групою відносно множення через невиконання останньої умови означення групи.

Приклад 3.

а) Множина раціональних чисел Множина є адитивна абельова група нескінченного порядку.

б) Множина Q не буде групою відносно множення у зв’язку з тим, що для нуля не існує оберненого елемента.

в) – (множина раціональних чисел без нуля) являє собою групу відносно операції множення (мультиплікативну), нескінчену.

Приклад 4. Множина комплексних чисел відносно додавання є адитивна абельова група нескінченного порядку. Множина комплексних чисел не є групою відносно множення, оскільки для нуля немає оберненого елемента. Але якщо з множини комплексних чисел «вилучити» нуль, вона буде мультиплікативною абельовою групою нескінченого порядку.

Приклад 5. Множина {0} і відносно додавання, і відносно множення являє собою групу першого порядку.

Приклад 6. Розглянемо множину з двох чисел з операцією:

.

– група другого порядку (абельова, мультиплікативна).

Приклад 7. Множина G={ всіх коренів n-го порядку степеня з одиниці

= =(cos +isin )) відносно операції множення .

Являє собою групу порядку n.

Це випливає з того, що для коренів n-го степеня з одиниці виконуються властивості:

1. ;

2. асоціативність множення;

3. ;

4. .

Отриману групу називають мультиплікативною групою коренів -го степеня з одиниці.

Приклад 8. Будь-який векторний простір є групою відносно внутрішньої операції додавання, причому абельовою.

Зауважимо, що:

1) у будь-якій групі існує лише один нейтральний елемент;

2) для будь-якого елемента групи існує лише один обернений елемент.

Доведіть самостійно.

Означення. Порядком елемента групи називають таке найменше додатне ціле число р, для якого . Якщо такого числа не існує, то елемент х називають елементом нескінченного порядку.

Приклад. Розглянемо групу і з’ясуємо порядок елемента , то має порядок 2.

Означення. Підмножину групи називають підгрупою, якщо сама є групою відносно операції . Для того щоб довести, що дана підмножина є підгрупа, треба перевірити лише виконання першої і четвертої умови означення групи.

Будь-яка група має принаймні дві підгрупи: підгрупу, що складається з нейтрального елемента, і всю групу. Ці дві підгрупи називають тривіальними або невласними.

Будь-яку підгрупу, що відрізняється від цих двох, називають власною.

Введемо поняття степеня елемента. Природно, що

,

x⁰=e. Від’ємний степінь утворюють двома шляхами:

1. .

2. .

1) Доведіть самостійно, що .

2) Можна довести, що підмножина є підгрура.

Отриману підгрупу називають циклічною підгрупою, породженою елементом х.

Можна також довести, що порядок циклічної підгрупи дорівнює порядку елементу, що породжує цю підгрупу.

Означення. Групу називають циклічною, якщо вона збігається з однією зі своїх циклічних підгруп.

Прикладами циклічних груп є адитивна група цілих чисел і мультиплікативна група коренів n-го степеня з 1.