80

Вступ

Конспект лекцій містить теоретичний матеріал другого семестру курсу "Алгебра та геометрія" для студентів першого курсу факультету прикладної математики. Як і в першому семестрі, при викладанні обрано шлях взаємного доповнення і проникнення алгебраїчних і геометричних питань.

Другий семестр починається з теорії многочленів, яка на протязі багатьох сторіч була центральним питанням алгебри. В той час алгебра вважалась наукою про розв’язування алгебраїчних рівнянь. Було знайдено формули розв'язків рівнянь першого, другого, третього та четвертого степеня. Потім почались марні пошуки формул для рівнянь вище четвертого степеня. Тоді виникає головне питання, чи, взагалі, існують корені. Відповідь було отримано в XIX сторіччі доведенням основної теореми: корені існують і їх слід шукати серед комплексних чисел. Студенти вже підготовлені до сприйняття цього, оскільки комплексні числа вивчались в першому семестрі.

Далі чисто алгебраїчні питання многочленів знаходять продовження в теорії алгебраїчних ліній і поверхонь. Ретельно вивчаються геометричні образи многочленів від двох і трьох змінних першого і другого степенів. А саме, вивчаються прямі на площині, площини, прямі в просторі. Розглядається загальна теорія кривих другого порядку.

В XIX сторіччі роботи молодих математиків Абеля і Галуа сприяли оформленню нових поглядів на алгебру. При розв’язанні основної на той час задачі вони створили нове поняття і пов’язану з ним теорію груп. Сучасна алгебра – це наука про властивості алгебраїчних операцій в множині довільної природи. Першокурсникам сучасна алгебра подається елементарною теорією груп, кілець, полей (алгебраїчних структур).

На протязі всього курсу поняття лінійного простору (введеного в першому семестрі) двічі узагальнювалась. Після введення поняття поля вводиться поняття лінійного оператора, його матриці. Наводяться приклади, які показують, що це поняття знаходить місце в різних галузях математики. Але алгебра формалізує його за допомогою матриць. З лінійним оператором пов’язані поняття власних векторів і власних значень, які знаходять застосування в подальшому в інших дисциплінах. Це поняття дозволяє поставити питання про найпростіший вигляд, до якого може бути зведена матриця лінійного оператора. Так першокурсники знайомляться з діагональною і жордановою формою матриці.

В курс "Алгебра та геометрія" входять також лінійні, білінійні, квадратичні форми. Цікавим є питання евклідового простору. Він є узагальненням геометричного простору, в ньому можна визначити довжину, кут між векторами.

В евклідовому просторі розглядаються важливі класи лінійних операторів (самоспряжені і ортогональні оператори). За допомогою цих операторів розв’язуються питання про зведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Отриманий алгебраїчний результат застосовується до геометричного питання теорії поверхонь. Таким чином, при викладанні матеріалу формально-алгебраїчний підхід чергується з геометричною інтерпретацією.

1. Теорія многочленів

1.1. Поняття многочлена, алгебра многочленів

Існують два погляди на поняття многочлена: формально-алгебраїчний і теоретико-функціональний.

Означення (формально-алгебраїчне). Многочленом відносно змінної z називають суму цілих невід’ємних степенів z, взятих з деякими коефіцієнтами.

Означення (теоретико-функціональне). Многочлен – це функція спеціального вигляду: a₀zⁿ +a₁ z^n-1+…+a_n , .

Змінну z і коефіцієнти вважатимемо комплексними. Найбільш поширені такі форми запису многочлена:

a₀+a₁z+a₂z²+…+a_nzⁿ– за зростаючими степенями;

a₁zⁿ +a₂z^n-1+…+a_n-1z+a_n – за спадними степенями.

Означення. Степенем многочлена називають найвищий показник, із яким z входить до многочлена з коефіцієнтом, який не дорівнює 0.

Над многочленами здійснюють дві основні алгебраїчні операції: додавання і множення. Застосуємо форму запису многочлена за зростаючими степенями.

Означення. Сумою многочленів a₀+a₁z+a₂z²+…+a_nzⁿ і b₀+b₁z+b₂z²+…+b_sz^s називають многочлен + із коефіцієнтами с_і такими, що с_і=a_і+b_і..

Означення. Добутком і називають многочлен , коефіцієнти якого обчислюють за таким правилом:

Із цього правила випливає правило множення многочленів як двох сум.

Означення (формально-алгебраічне). Два многочлена називають рівними, якщо вони мають однакові коефіцієнти при однакових степенях z.

Означення (теоретико-функціональне). Дві функції (у тому числі й многочлен) називають рівними, якщо: 1) у них однакові області визначення; 2) за однакових значень аргументу вони набувають однакових значень.

Властивості операцій:

1) + = + – комутативність додавання;

2) ( + + h = + + h ) – асоціативність додавання;

3) = – комутативність множення;

4) h h –асоціативність множення;

5) h = h + h – дистрибутивність.

Зрозуміло, якщо многочлени рівні формально-алгебраїчному сенсі, то рівні вони і в теоретико-функціональному. Обернене не очевидно. Ми доведемо цей факт пізніше, застосувавши наслідок основної теореми.

З’ясуємо питання про існування операцій обернених додаванню і множенню. Для цього застосуємо поняття оберненої операції до загальної внутрішньої операції .

Візьмемо за операцію операцію додавання: = + . Встановимо чи існує для заданих (z) й g(z) такий многочлен h(z), що g(z)+h(z)= (z). Позначимо h(z)= . Тоді . Звідси . Отже, такий многочлен h(z) існує.

Візьмемо за операцію операцію множення: = . Доведемо, що множення не існує оберненої операції. Проаналізувавши поняття оберненої операції, дійдемо висновку, що для цього достатньо навести принаймні одну пару многочленів f(z) й g(z), для яких не існує такого многочлена h(z), щоб g(z) h(z)= (z). Такими, наприклад, є (z)=1, g(z)=z. Але h(z) не многочлен. Отже, обернена множенню операція невизначена в множині многочленів.

1.2. Ділення многочленів з остачею. Найбільш спільний дільник (нсд)

Означення. Поділити многочлен f(z) на g(z) з остачею – це означає знайти пару таких многочленів q(z) і r(z) щоб f(z)= g(z) q(z) + r(z), причому r(z) 0 (r(z) =0 +0 +…+0) або степінь r(z) g(z).

Теорема. Для будь-яких многочленів f(z) й g(z), де g(z)≠0 +…+0, де можливо ділення з остачею, причому q(z) і r(z) визначаються однозначно.

Многочлен r(z) називають остачею від ділення многочлена f(z) на g(z), q(z) – часткою.

Доведіть теорему самостійно.

Означення. Говоритимемо, що многочлен f(z) ділиться на многочлен g(z) без остачі, якщо r(z)≡0 (ділення без остачі позначатимемо так: .

Означення. Спільним дільником многочленів f(z) і g(z) називають такий многочлен , на який і f(z), і діляться без остачі.

Означення. Найбільшим спільним дільником многочленів f(z) і g(z) називають такий їх спільний дільник, який ділиться на будь-який їх спільний дільник.

Для подальшого знаходження найбільшого спільного дільника сформулюємо властивості подільності.

1) Якщо f(z) g(z), а g(z) h(z), то f(z) h(z).

Доведення.

f(z) g(z) f(z)= g(z) (z),

g(z) h(z) g(z)=h(z) (z),

f(z)=h(z) ( (z) (z))=h(z)·g(z) (g(z)=g₁(z)·g₂(z)),

r(z) Отже f(z) h(z).

2 )Якщо f(z) h(z) і g(z) h(z), то (f(z) g(z)) h(z) (доведіть самостійно).

3) Якщо f(z) h(z) і g(z), то (f(z) g(z)) h(z) (доведіть самостійно).

4) Будь-який многочлен ділиться на многочлен нульового степеня.

Доведення.

Нехай f(z)= і h(z)= . Подаємо f(z) у вигляді

f(z)= . Отже f(z) h(z).

5) Якщо f(z) g(z), тоді f(z) с g(z); с-const, c (доведіть самостійно).

6) Якщо f(z) g(z) і g(z) f(z), то вони відрізняються постійним множником.

Доведення.

Оскільки f(z) g(z), то f(z)= g(z) (z), g(z) f(z), g(z)=f(z) (z).

Тоді f(z)=f(z) ( (z)) (z)=1 степінь (z) дорівнює 0 і степінь (z) дорівнює 0. Звідси випливає, що (z)–const і (z)–const .

Отже, f(z) = с g(z).

Із наведених властивостей випливає, що найбільший спільний дільник визначають не однозначно, а з точністю до постійного множника.

Розглянемо алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника. Нехай задано f(z) і g(z). Треба знайти найбільший спільний дільник d(z).

Опишемо процес, який називають алгоритмом Евкліда.

Застосуємо до f(z) і g(z) теорему про ділення з остачею: і такі, що (1) f(z)=g(z ) + ; (2) g(z)= (z) + (z); (3) = (z) (z) + (z); …...…. (K) ; (K+1) ;

1) 2)Поділимо g(z) на остачу . Продовжуючи далі знайдемо таку остачу , на яку без остачі поділиться попередня остача, тобто . Шукана остача обов’язково існує, тому що степені остач на кожному кроці послідовно знижуються, в “найгіршому” випадку степінь знизиться до нуля, а на многочлен нульового степеня поділиться будь-який многочлен

Доведемо, що – найбільший спільний дільник. За означенням НСД треба довести два факти:

1) – спільний дільник, тобто f (z) g(z) .

З рівності (k+1) описаного вище алгоритму Евкліда випливає, що тоді з рівності (k) маємо аналогічно піднімаючись вище з рівностей (3), (2), (1) маємо ,g(z) , f (z) . Отже, – спільний дільник

2) – найбільший спільний дільник. Нехай h(z) довільний спільний дільник f (z) і g(z), треба довести, що . За означенням спільного дільника f(z) h(z) , g(z) h(z). Тоді з рівності (1) випливає: = f(z)- g(z) h(z). З рівності (2) випливає, що: (z) h(z), з рівності (3) випливає (z) h(z). Продовжуючи таким же чином, маємо h(z). Отже, ми довели, що – найбільший спільний дільник.

Означення. Многочлени f (z) і g(z) називають взаємно простими, якщо їх спільним дільником є многочлен нульового степеня (число не рівне нулю).

Оскільки найбільший спільний дільник (НСД) визначається з точністю до постійного множника, то НСД взаємно простих многочленів можна вважати рівним 1.