14.4. Примерные вопросы на защите работы

1. Что значит – решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений?

2. Какие существуют методы решения систем дифференциальных уравнений

3. Применение, каких формул позволяет получить решение системы дифференциальных уравнений по методу Эйлера?

4. Применение, каких формул позволяет получить решение системы дифференциальных уравнений по методу Рунге-Кутты?

14.5. Задание

1. Найдите решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям на промежутке [0, 1] с шагом h=0,01:

а) методом Эйлера;

б) методом Рунге-Кутта;

2. Построить графики функций.

3. Сравнить результаты и сделать вывод.

Варианты заданий.

№ варианта	Задания
	a	m
1	0,1	1,2
2	0,2	1,5
3	0,3	1,7
4	0,4	1,9
5	0,5	2
6	0,6	1,9
7	0,7	2,3
8	0,8	2,7
9	0,9	3
10	0,1	1,5
11	0,2	1,1
12	0,3	2

РАБОТА № 15

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

15.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представления о применении дифференциальных уравнений высших порядков в различных областях; привить умения решать задачу Коши для дифференциальных уравнений высших порядков с помощью прикладных программ; развить навыки проверки полученных результатов.

15.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

• титульный лист;

• исходные данные варианта;

• решение задачи;

• результаты решения задачи.

15.3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пример 1.1.

Решить дифференциальное уравнение второго порядка при данных начальных условиях .

Решение:

Сначала приведем дифференциальное уравнение к системе:

1. Создать m-файл функции вычисления правых частей дифференциальных уравнений.

Пусть имя файла – sisdu.m, тогда функция может иметь следующий вид:

function z=sisdu_15(x,y)

z1=y(2);

z2=6*x*exp(x)+2*y(2)+y(1);

z=[z1;z2];

2. Выполнить следующие действия:

>> plot(x,y(:,1))

>> x0=0;xf=10;y0=[0,0];

>> [x,y]=ode23('sisdu_15',x0,xf,y0);

>> plot(x,y(:,1))

Рис. 15.1. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

15.4. Примерные вопросы на защите работы

1. Что значит – решить задачу Коши для дифференциальных уравнений высших порядков?

2. Как привести дифференциальное уравнение m-го порядка к системе?

15.5. Задание

1. Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям на промежутке [0, 10] с шагом h=0,01.

2. Построить графики функций.

Варианты заданий.

№ варианта	Задания
	Уравнения	Начальные условия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

РАБОТА № 16

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

16.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представление о применении дифференциальных уравнений в частных производных в различных областях физики и техники; выработать навыки решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности методом сеток.

16.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

• титульный лист;

• исходные данные варианта;

• решение задачи;

• результаты решения задачи.

16.3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пример 16.1.

Используя метод сеток, решить уравнение теплопроводности (уравнение параболического типа): при заданных начальных условиях: u(x;0)=3x(1-x)+0.12; u(0; t)=2(t+0.06); u(0.6; t)=0.84, где х [0; 0.6]. Решение найти при h=0,1 для t [0; 0.01] c четырьмя десятичными знаками, считая .

Решение:

1. В командном окне программы МАТLAB наберем следующую последовательность операторов:

>> h=0.1; s=1/6;

>> k=h^2*s

k =

0.0017

>> Nx=0.6/h+1 % число узлов координатной сетки

Nx =

7.0000

>> Nt=0.01/k+1 % число шагов по времени

Nt =

7.0000

>> for i=1:Nx+1 % задание пространственно-временной сетки

x(i)=(i-1)*h;

end;

>> x

x =

0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000

>> for i=1:Nt+1

t(i)=(i-1)*k;

end;

>> t

t =

0 0.0017 0.0033 0.0050 0.0067 0.0083 0.0100

% задание начальных и граничных условий

>> for i=1:Nx+1

tab(1,i)=(3*x(i)*(1-x(i)))+0.12;

end;

>> for j=1:Nt+1

tab(j,1)=2*(t(j)+0.06);

tab(j,7)=0.84;

end;

% матрица краевых условий

>> tab

tab =

0.1200 0.3900 0.6000 0.7500 0.8400 0.8700 0.8400

0.1233 0 0 0 0 0 0.8400

0.1267 0 0 0 0 0 0.8400

0.1300 0 0 0 0 0 0.8400

0.1333 0 0 0 0 0 0.8400

0.1367 0 0 0 0 0 0.8400

0.1400 0 0 0 0 0 0.8400

% заполнение оставшейся части матрицы

>> for j=2:Nt+1

for i=2:Nx

tab(j,i)=1/6*(tab(j-1,i-1)+4*tab(j-1,i)+tab(j-1,i+1));

end;

end;

>> tab

tab =

0.1200 0.3900 0.6000 0.7500 0.8400 0.8700 0.8400

0.1233 0.3800 0.5900 0.7400 0.8300 0.8600 0.8400

0.1267 0.3722 0.5800 0.7300 0.8200 0.8517 0.8400

0.1300 0.3659 0.5704 0.7200 0.8103 0.8444 0.8400

0.1333 0.3607 0.5612 0.7101 0.8009 0.8380 0.8400

0.1367 0.3562 0.5526 0.7004 0.7920 0.8322 0.8400

0.1400 0.3524 0.5445 0.6911 0.7834 0.8268 0.8400

% визуализация численного решения (рис 16.1)

>> surf(tab)

Рис. 16.1. Графическое решение уравнения теплопроводности