7. Потенциальные векторные поля
Определение 27. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):
A
= grad
u
=
.
(119)
При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.
Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т, помещенной в начале координат, электрическое поле точечного заряда е, находящегося в начале координат, и другие.
Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным.
Так как из (119)
следует, что
то
так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что
rot A = 0 – (120)
условие потенциальности векторного поля.
Определение 28. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az}, для которого rot A = 0, называется безвихревым.
Из предыдущих рассуждений следует, что любое потенциальное поле является безвихревым. Можно доказать и обратное, то есть то, что любое безвихревое поле есть поле потенциальное.
Пример 30.
Определить, является
ли векторное поле
потенциальным. В случае положительного
ответа найти его потенциали
в предположении, что в начале координат
и
= 0.
Вычислим частные
производные функций
,
Следовательно,
то естьrot
F
= 0 – выполнено условие (120), и поле является
потенциальным.
Тогда
.
8. Соленоидальные и гармонические векторные поля
Определение 29. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой области
div A = 0. (121)
Замечание. Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А, то в области, где поле соленоидально, нет источников этого поля. Примером соленоидального поля может служить поле точечного заряда е во всех точках, кроме точки, где расположен заряд.
Условием соленоидальности поля является требование, что вектор А является ротором некоторого вектора В: A = rot B. Докажем это.
Действительно,
если
,
то
div A =
=
Определение 30. Скалярное поле, задаваемое функцией u = u(x, y, z), называется гармоническим в некоторой области, если функция и в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа: Δ и = 0.
Примеры: линейная функция, потенциал электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной массы.
Литература
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969.
Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.
Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 1965.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 1981.
Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 1981.
Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1973.