Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ММДО тема6.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
18.08.2019
Размер:
672.26 Кб
Скачать

3.Метод потенціалів для знаходження оптимального розв’язку транспортної задачі

Метод потенціалів є особливим випадком симплекс-методу, що враховує особливості транспортної задачі. Метод потенціалів ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема про потенціали.

Якщо для деякого опорного плану , транспортної задачі існують такі числа що при , при для всіх , то — оптимальний план транспортної задачі.

Величини та називаються потенціалами пунктів постачання та пунктів споживання відповідно.

Алгоритм методу потенціалів включає наступні кроки.

  1. Розраховуємо значення потенціалів рядків та стовпців та , розв’язуючи систему рівнянь , що складені для заповнених клітинок транспортної задачі. Число заповнених клітинок дорівнює , а система має невідомих, тому для визначеності приймаємо та послідовно з рівнянь знаходимо інші значення та .

  2. Для кожної з вільних клітинок розраховуємо значення . Якщо , то план оптимальний. В іншому випадку обираємо максимальне значення та заповнюємо відповідну клітинку, змінюючи об’єми поставок в інших заповнених клітинках, що пов’язані з нею циклом.

а). Побудова циклу.

Цикл будується у вигляді ламаної лінії в таблиці транспортної задачі, вершини якого розташовані в заповнених клітинках таблиці, а ланки ламаної — вздовж рядків та стовпчиків, причому в кожній вершині циклу зустрічається рівно дві ланки — одна з них проходить вздовж стовпчика, а інша — вздовж рядка. Точки самоперетину ламаної не є вершинами. Однією з вершин циклу є обрана незаповнена клітинка.

б). Переміщення перевезень в межах клітинок, пов’язаних з вільною циклом.

Починаючи з вільної клітинки, якій приписується знак +, іншим почергово, просуваючись за циклом, приписуємо знаки — та +.

В вільну клітинку переносимо найменше з чисел , що знаходиться в мінусових клітинках. Це число додається до клітинок зі знаком + та віднімається від клітинок зі знаком — . В результаті вільна клітинка стає заповненою, а заповнена з мінімальним значенням та +-ом — вільною. Баланс перевезень не змінюється, оскільки в кожному стовпчику та рядку додається і віднімається одне й те ж значення.

Перехід до кроку 1.

Нижче наведені приклади можливих конфіґурацій циклів в транспортній таблиці.

Приклад.

На трьох пунктах зберігання наявні наступні запаси: a1=100, a2=150, a3=50. Потреби чотирьох пунктів споживання становлять b1=75, b2=80, b3=60, b4=85. Вартості перевезень одиниці продукції задані матрицею С . Прямою перевіркою впевнюємося, що задача закритого типу, оскільки сумарні потреби рівні сумарним запасам. Застосуємо на першому кроці для знаходження початкового опорного розв’язку метод північно-західного кута.

B1

B2

B3

B4

Зап.

A1

6

75

7

25

3

5

100

A2

1

2

55

5

60

6

35

150

A3

8

10

20

1

50

50

Потр.

75

80

60

85

300

Розраховуємо значення потенціалів рядків та стовпчиків, використовуючи для цього заповнені клітинки таблиці та присвоюємо значення потенціалу .

6

7

10

11

0

6

75

7

25

3

5

-5

1

2

55

5

60

6

35

-10

8

10

20

1

50

Після цього розраховуємо потенціали незаповнених клітинок і будуємо цикл. Оскільки серед потенціалів незаповнених клітинок є додатні, то знайдений опорний розв’язок не оптимальний — клітинка з найбільшим позитивним значенням потенціалу обирається як вершина циклу, а всі інші клітинки — вершини циклу повинні бути заповненими.

6

7

10

11

0

6

7

-

3

+

5

75

25

7

6

-5

1

2

+

5

-

6

0

55

60

35

-10

8

10

20

1

-12

-13

-20

50

Здійснюємо переміщення перевезення 25 в межах циклу та переходимо до нової транспортної таблиці з повторенням розрахунків.

6

0

3

4

0

6

-

7

3

+

5

75

-7

25

-1

2

1

+

2

5

-

6

7

80

35

35

-3

8

10

20

1

-5

-13

-20

50

Процес побудови циклу повторюємо, так як оптимального розв’язку ще не досягнуто.

6

7

3

11

0

6

-

7

3

5

+

40

0

60

6

-5

1

+

2

5

6

-

35

80

-7

35

-10

8

10

20

1

-12

-13

-17

50

В процесі переходу від однієї таблички до іншої зберігається опорність знайденого перевезення, та зменшується його сумарна вартість, тобто йде процес наближення до оптимуму. Переходимо до наступної таблиці.

6

7

3

5

0

6

7

3

5

5

0

60

35

-5

1

2

5

6

70

80

-7

-6

-4

8

10

20

1

-6

-7

-21

50

Оскільки серед потенціалів незаповнених клітинок немає ні одного додатнього, то знайдений план перевезень є оптимальним. Сумарна вартість перевезень для нього становитиме

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]