
- •Тема 1.Транспортна задача лінійного проґрамування.
- •1.Математична та змістовна постановка транспортної задачі
- •Закрита транспортна задача завжди має припустимий розв’язок.
- •2. Ранґ матриці системи обмежень-рівностей закритої невиродженої транспортної задачі .
- •2.Методи знаходженння початкового (опорного) плану транспортної задачі
- •3.Метод потенціалів для знаходження оптимального розв’язку транспортної задачі
- •4.Розв’язування транспортних задач з ускладненнями в постановці
- •5.Інтерпретація методу потенціалів як симплекс-методу.
- •6.Транспортна модель з проміжними пунктами
- •7.Метод диференційних рент.
- •8.Задача про призначення
3.Метод потенціалів для знаходження оптимального розв’язку транспортної задачі
Метод потенціалів є особливим випадком симплекс-методу, що враховує особливості транспортної задачі. Метод потенціалів ґрунтується на наступній теоремі.
Теорема про потенціали.
Якщо для деякого
опорного плану
,
транспортної задачі існують такі числа
що
при
,
при
для всіх
,
то
— оптимальний план транспортної задачі.
Величини
та
називаються потенціалами пунктів
постачання та пунктів споживання
відповідно.
Алгоритм методу потенціалів включає наступні кроки.
Розраховуємо значення потенціалів рядків та стовпців та , розв’язуючи систему рівнянь , що складені для заповнених клітинок транспортної задачі. Число заповнених клітинок дорівнює
, а система має
невідомих, тому для визначеності приймаємо
та послідовно з рівнянь знаходимо інші значення та .
Для кожної з вільних клітинок розраховуємо значення
. Якщо
, то план оптимальний. В іншому випадку обираємо максимальне значення
та заповнюємо відповідну клітинку, змінюючи об’єми поставок в інших заповнених клітинках, що пов’язані з нею циклом.
а). Побудова циклу.
Цикл будується у вигляді ламаної лінії в таблиці транспортної задачі, вершини якого розташовані в заповнених клітинках таблиці, а ланки ламаної — вздовж рядків та стовпчиків, причому в кожній вершині циклу зустрічається рівно дві ланки — одна з них проходить вздовж стовпчика, а інша — вздовж рядка. Точки самоперетину ламаної не є вершинами. Однією з вершин циклу є обрана незаповнена клітинка.
б). Переміщення перевезень в межах клітинок, пов’язаних з вільною циклом.
Починаючи з вільної клітинки, якій приписується знак +, іншим почергово, просуваючись за циклом, приписуємо знаки — та +.
В вільну клітинку
переносимо найменше з чисел
, що знаходиться в мінусових клітинках.
Це число додається до клітинок зі знаком
+ та віднімається від клітинок зі знаком
— . В результаті вільна клітинка стає
заповненою, а заповнена з мінімальним
значенням та +-ом — вільною. Баланс
перевезень не змінюється, оскільки в
кожному стовпчику та рядку додається
і віднімається одне й те ж значення.
Перехід до кроку 1.
Нижче наведені приклади можливих конфіґурацій циклів в транспортній таблиці.
Приклад.
На трьох пунктах
зберігання наявні наступні запаси:
a1=100,
a2=150,
a3=50.
Потреби чотирьох пунктів споживання
становлять b1=75,
b2=80,
b3=60,
b4=85.
Вартості
перевезень одиниці продукції задані
матрицею С
. Прямою перевіркою впевнюємося, що
задача закритого типу, оскільки сумарні
потреби рівні сумарним запасам. Застосуємо
на першому кроці для знаходження
початкового опорного розв’язку метод
північно-західного кута.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
Зап. |
A1 |
6 75 |
7 25 |
3 |
5
|
100 |
A2 |
1 |
2 55 |
5 60 |
6 35 |
150 |
A3 |
8
|
10 |
20 |
1 50 |
50 |
Потр. |
75 |
80 |
60 |
85 |
300 |
Розраховуємо значення потенціалів рядків та стовпчиків, використовуючи для цього заповнені клітинки таблиці та присвоюємо значення потенціалу .
|
6 |
7 |
10 |
11 |
0 |
6 75 |
7 25 |
3 |
5
|
-5 |
1 |
2 55 |
5 60 |
6 35 |
-10 |
8
|
10 |
20 |
1 50 |
Після цього розраховуємо потенціали незаповнених клітинок і будуємо цикл. Оскільки серед потенціалів незаповнених клітинок є додатні, то знайдений опорний розв’язок не оптимальний — клітинка з найбільшим позитивним значенням потенціалу обирається як вершина циклу, а всі інші клітинки — вершини циклу повинні бути заповненими.
|
6 |
|
7 |
|
10 |
|
11 |
|
0 |
6 |
|
7 |
- |
3 |
+ |
5 |
|
|
|
75 |
|
25 |
|
7 |
|
6 |
-5 |
1 |
|
2 |
+ |
5 |
- |
6 |
|
|
|
0 |
|
55 |
|
60 |
|
35 |
-10 |
8 |
|
10 |
|
20 |
|
1 |
|
|
|
-12 |
|
-13 |
|
-20 |
|
50 |
|
6 |
|
0 |
|
3 |
|
4 |
|
|
6 |
- |
7 |
|
3 |
+ |
5 |
|
|
|
75 |
|
-7 |
|
25 |
|
-1 |
|
1 |
+ |
2 |
|
5 |
- |
6 |
|
|
|
7 |
|
80 |
|
35 |
|
35 |
-3 |
8 |
|
10 |
|
20 |
|
1 |
|
|
|
-5 |
|
-13 |
|
-20 |
|
50 |
|
6 |
|
7 |
|
3 |
|
11 |
|
|
6 |
- |
7 |
|
3 |
|
5 |
+ |
|
|
40 |
|
0 |
|
60 |
|
6 |
|
1 |
+ |
2 |
|
5 |
|
6 |
- |
|
|
35 |
|
80 |
|
-7 |
|
35 |
-10 |
8 |
|
10 |
|
20 |
|
1 |
|
|
|
-12 |
|
-13 |
|
-17 |
|
50 |
|
6 |
|
7 |
|
3 |
|
5 |
|
0 |
6 |
|
7 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
5 |
|
0 |
|
60 |
|
35 |
-5 |
1 |
|
2 |
|
5 |
|
6 |
|
|
|
70 |
|
80 |
|
-7 |
|
-6 |
-4 |
8 |
|
10 |
|
20 |
|
1 |
|
|
|
-6 |
|
-7 |
|
-21 |
|
50 |
.