3. Отримання оптимального розв’язку двоїстої задачі за допомогою симплекс-методу

Розглянемо можливості отримання оптимального розв’язку двоїстої задачі з оптимального розв’язку (за допомогою останньої симплекс-таблиці) прямої задачі.

Приклад.

Пряма задача.

Q= 3x₁+2x₂  Max,

x₁+2x₂<=6 x₁+2x₂+х₃ =6  y₁

2x₁+x₂<=8 2x₁+x₂ +х₄ =8  y₂

-x₁+x₂<=1 -x₁+x₂ +х₅ =1  y₃

x₂<=2 x₂ +х₆ =2  y₄

x₁ >=0 x₂ >=0 x_j>=0

Кожне обмеження прямої задачі відповідає змінній двоїстої задачі, кожна змінна прямої задачі відповідає обмеженню двоїстої. Запишемо умову двоїстої задачі:

Двоїста задача.

6y₁+ 8y₂ + y₃ + y₄  Min,

y₁+ 2y₂ - y₃ >=3

2y₁+ y₂ + y₃ + y₄ >=2

y₁>=0 y₂ >=0 y₃ >=0 y₄>=0.

Оскільки пряма задача розв’язана в попередніх темах, запишемо останню симплекс-таблицю для прямої задачі, в якій наявний оптимальний розв’язок:

			c1	c2	c3	c4	c5	c6
xb	cb	P0	3	2	0	0	0	0
			P1	P2	P3	P4	P5	P6
x2	2	4/3	0	1	2/3	-1/3	0	0
x1	3	10/3	1	0	-1/3	2/3	0	0
x5	0	3	0	0	-1	1	1	0
x6	0	2/3	0	0	-2/3	1/3	0	1
Q		38/3	0	0	1/3	4/3	0	0

Початкові базові змінні: x₃, x₄, x₅, x₆.

Різниця між лівою та правою

частинами обмеження двоїстої

задачі, яке асоційоване з цією

початковою змінною

=

Для визначення оптимальних значень змінних двоїстої задачі згідно до теорем двоїстості складаємо рівняння:

Коефіцієнт при

початковій базовій змінній в рядку прямої задачі

Це ж співвідношення в звичній формі: , .

Відповідні співвідношення для прикладу:

1/3 = y₁ - 0  x₃

4/3 = y₂ - 0  x₄

1/3 = y₃ - 0  x₅

1/3 = y₄ - 0  x₆

<=

Наслідком з 1-ї теореми є те, що для будь-якої пари припустимих розв’язків прямої та двоїстої задачі:

Значення функції мети

в задачі максимізації

Значення функції мети

в задачі мінімізації

Це співвідношення має важливе практичне значення: розв’язуючи пряму та двоїсту задачу, можна в будь-який момент припинити хід розв’язування за умови досягнення необхідної точності (інтервал значень функції мети).