Додаток 1 розрахунок термічних напружень в задачах стаціонарної теплопровідності

Розрахунок термічних напружень в задачах стаціонарної теплопровідності (див.завдання № 1 ... 3, 6 ... 8) проводиться таким чином. Термічне напруження з гарячою (лівої) сторони стінки:

σ_г=S₁(t_ср-t_п.1) (1)

де S₁=βЕ/(1- ν) – питоме термічне напруження на один градус температури Па/К;

β- лінійний термічний коефіцієнт розширення 1/К;

Е- модуль Юнга, Па;

ν- коефіцієнт Пуассона.

Термічне напруження з холодної (зовнішньої) сторони стінки;

 σ_х = S₁ (t_ср – t_n.зов), (2)

де t_n.зов – температура зовнішньої поверхні стінки, ^oС;

t_ср – середньо-масова температура, ^oС.

Для одношарової плоскої:

t_ср = (t_n1 + t_n2)/2 (3)

та багатошарової:

(4)

де t_ср.і = (t_n1 + t_n.і+1)/2; m – число стінок.

Для циліндричної:

t_ср = С₂ + С₁ (-0,5 + ln - ln ) (5)

і для кульової стінки

t_ср = С₂ - С₁ R_ср/ R_г (6)

де R_ср= (R₁+R₂)/2; R_г=( + )/3;

С₁ і С₂ – смталі, дивись лекції з "Тепломасообміну" або "Температури та напруження"

ДОДАТОК 2

Розрахунок температур та термічних напружень у процесах нестаціонарної теплопровідності

Задачі нестаціонарної теплопровідності (див. задачі №4,5) достатньо складні і тому часто вирішуються графічним методом за допомогою номограм Будріна [1, 2] для визначення безрозмірних температур у центрі і на поверхні тіла. Проте в ряді випадків можна записати прості наближені аналітичні залежності.

Так, для температурного поля тіл простої форми в регулярному режиму нагріву або охолодження при числах Фур'є Fo>0,3 відповідно [4,5]:

, (1)

де: - безрозмірна координата;  - напівтовщина пластини, м;

- безрозмірний час, число Фур'є;

;

- температуропровідність, м²/с;

- поверхнева амплітуда;

 - теплопровідність, Вт/мК;  - час нагріву (охолодження), с;

t(х, ) та t₀ - температура тіла відповідно шукана і початкова, °С;

t_ж - температура навколишнього середовища, °С;

Bi - число Біо, ; - коефіцієнт тепловіддачі, Вт/м²К

- перший корінь характеристичного рівняння ctgμ_п=μ_п/Ві;

;

- коефіцієнт термічної масивності;

k - коефіцієнт геометричної форми, який дорівнює 1 - для пластини, 2 - циліндра і кулі - 3; ;

; при малих значеннях ;

Вважаючи в рівнянні x= та x=0 , одержуємо вираження для розрахунку температури на поверхні:

, (2)

у центрі:

. (3)

середня по масі температура Θ_ср =Θ_пk ·Ві/μ². (4)

де якщо k=1;

якщо k=2;

якщо k=3;

При великих числах Біо .

Формулою (1) можна користуватися при достатньо великих числах Фур'є, коли .

При малих числах Фур'є ( <0,2) температура в центральних точках тіла приблизно дорівнює початкової, тобто , а для розрахунку температури на поверхні варто використовувати враження:

, (5)

де: ; .

Остаточно одержуємо температуру на поверхні пластини:

, у центрі , та середню

При визначенні часу нагріву тіла до заданої температури на поверхні пластини (обернена задача), варто розв'язати рівняння (2) або (5) щодо числа Фур'є. До рівняння (3) це досягається простим потенціюванням:

, (6)

а рівняння (5) потрібно вирішувати методом послідовних наближень або графічним згідно [2] способом.

Возразмірні нестаціонарні (змінюються у часі) осьові термічні напруги [4,5]

на поверхні (7)

і в центрі тіла (8)

де - відносні термічні напруги, 0≤ ≤1; - максимальноможливі термічні напруги, Па;

Аналіз рівнянь (7) і (8) показав, що динаміка зміни напружень під час носить колоколообразний характер, тобто спочатку різко зростають, досягаючи максимального значення при числах Фур'є Fo_maх=0,05…0,50, а потім поступово падають.

Часи настання максимальних термічних напружень можна знайти за рівнянням

Fo_j=(1/a)ln(1/b_j) (9)

де j=1 відповідають часу настання максимальної напруги на поверхні, а при j=2 - в центрі тіла.

При малих числах Біо (Bi<3): a=(π/2)²-D/γ; b₁=K_A∙Bi; b₂=Bi/2(7+ k);

K_А= k/(2(k+2)) і при великих Біо: a=(3π/2)²(1-β)²(1-δ); β=1/Bi; δ=1/9; b₁=1 b₂≃0,1.

Часи Fo_j можна також визначити за відомим числом Біо з рис.1.

Знаючи Fo_j, можна за рівняннями (2) ... (4) при Fo = Fo_j знайти Θ_п, Θ_ц і Θ_ср, а потім за формулою (7) і (8) - максимальні термічні напруги.

Після визначення відносних напружень розмірні термічні напруги: , Па.