7. Розв‘язування систем лінійних алгебричних рівнянь

У цьому параграфі розглянемо приклади розв’язування системи лінійних рівнянь за допомогою програми MathCAD, опускаючи питання існування розв’язку, його збіжності, тощо.

Розглянемо систему лінійних алгебричних рівнянь стосовно невідомих :

У матричному вигляді систему рівнянь можна записати як , де

, , .

Нижче подано фрагмент робочого листа розв‘язку системи трьох рівнянь з трьома невідомими з використанням внутрішньої функції MathCAD .

Для уводу значень матриці A та вектора b використовуємо палітру векторів і матриць панелі . Набираємо та натискаємо . У вікні, що з’явиться вибираємо кількість рядків та стовпців матриці (3; 3), для вектора (1; 3). Отриману форму заповнюємо даними . Функцію вибираємо із переліку після натиску кнопки . Розв’язок тієї ж системи рівнянь з використанням оберненої матриці може мати такий вигляд:

Тут ще додатково обчислили матрицю обернену до та транспоновану .

Наступний спосіб, що використовує метод простої ітерації, виглядатиме так:

Тут необхідно задавати початкові значення невідомих змінних, наприклад , , , а службові слова given та Find набираємо з клавіатури. При записі системи рівнянь на робочому листі знак ”=” беремо не з клавіатури, а з панелі відношень , тобто використовуємо знак логічної рівності (це обов’язкове). Метод не вимагає точного розташування змінних у записі системи рівнянь на листі.

Замість функції можна використати функцію , що має аналогічну дію і реалізує при розв’язку системи рівнянь метод найменших відхилень.

Зауважимо, що увід елементів векторів, матриць можна виконати і інакше, наприклад:

Змінним, яким числові значення не задані, по замовчуванню присвоюються нульові значення.

Завдання 2. Розв’язати систему рівнянь Dx=b наведеними вище способами, знайти її визначник, обернену та транспоновану матриці.

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , ; е) , ;

є) , ; ж) , ;

з) , ; и) , ;

і) , ; к) , ;

л) , ; м) , ;

н) , ; о) , ;

8. Розв‘язування нелінійних рівнянь

Mathcad має ряд можливостей для знаходження коренів нелінійних рівнянь. Щоб розв’язати рівняння за допомогою функції , рівняння потрібно привести до вигляду, щоб його права частина дорівнювала нулю, вказати змінну за якою шукається корінь та задати початкове наближення цієї змінної.

Проілюструємо пошук коренів на прикладі рівняння .

Для встановлення кількості коренів та їх початкових наближених значень будуємо графік функції . Зрозуміло, що межі зміни аргумента на графіку вибираємо декілька разів, щоб переконатися в тому, що охопили всі корені рівняння. Маючи приблизні графічні значення коренів, задаємо початкові значення для та функцію знаходження кореня рівняння. У залежності від вибору початкового значення аргумента отримуємо той чи інший корінь рівняння.