Задача 6. Выведение двухступенчатого ла на орбиту спутника Земли

Рассмотреть управляемый процесс выведения составного двухступенчатого ЛА с поверхности Земли на круговую орбиту.

Математическую модель составить с учётом следующих допущений: 1) траектория выведения расположена в плоскости орбиты спутника; 2) Земля сферическая и не вращается; 3) поле тяготения центральное; 4) на ЛА действуют сила тяжести, тяга двигателей и аэродинамические силы; 5) двигатели развивают постоянную для каждой ступени тягу; 6) траектория выведения состоит из двух последовательных участков; 7) отделение ступеней происходит с нулевой относительной скоростью в момент прекращения работы их двигателей; 8) траекторные характеристики , ,r,φ непрерывны на всех этапах выведения.

Тогда связи между характеристиками рассматриваемого процесса описываются уравнениями движения ЛА в скоростной системе координат последовательно по примыкающим участкам [t_j-1,t_j], j=1,2 следующим образом:

Здесь – текущая скорость полёта ЛА; θ– угол наклона вектора скорости к местному горизонту; r– текущее расстояние ЛА от центра Земли; φ– текущая угловая дальность полёта ЛА; – угол между вектором скорости и вектором тяги Р;

P_j=    тяга двигателя j-ой ступени; m_j= m_0j ( t- t_j-1)  текущая масса ЛА на j-ом участке; u_cj- скорость истечения продуктов сгорания из сопла двигателя j-ой ступени;    секундный расход топлива двигателем j-ой ступени; m_0j= m_0j-1  (t_j  t_j-1) - начальная масса j-ой ступени; g=μ/r²  гравитационное ускорение; μ  гравитационная постоянная Земли;  сила лобового сопротивления;  подъёмная сила j-ой ступени; S_j  площадь миделевого сечения j-ой ступени; c_xj=c_0j+ , c_yj= α  коэффициенты аэродинамического сопротивления и подъёмной силы j-ой ступени; ρ=ρ₀ exp{-γ(r-R₀)}  плотность атмосферы; величины u_cj,  , m₀₁, μ, S_j, , , c_0j, c_yj^α, η _j, γ, ρ₀, R₀, t₀  заданные числа.

Рассчитать траекторию, обеспечивающую выведение спутника на круговую орбиту заданного радиуса r_k с орбитальной скоростью .

Задача 7. Межорбитальный перелёт кла

Расcмотреть управляемый процесс перелёта между заданными круговыми компланарными орбитами КЛА, двигательная система которого состоит из электро-ракетного двигателя (ЭРД) малой тяги.

При построении математической модели учесть следующие допущения:

1) траектория перелёта целиком лежит в плоскости граничных орбит; 2) поле тяготения притягивающего тела центральное; 3) на КЛА действуют сила тяжести и тяга двигателя; 4) ЭРД развивает малую постоянную по величине тягу на всём интервале движения; 5) управление перелетом осуществляется изменением направления вектора тяги ЭРД.

Тогда связи между характеристиками рассматриваемого процесса описываются следующими уравнениями движения КЛА и граничными условиями

V(t₀)=v₀; θ(t₀)=θ₀; r(t₀)=r₀; φ(t₀)=φ₀;

V(t_k)=v_k; θ(t_k)=θ_k; r(t_k) = r_k.

Здесь V – текущая скорость КЛА; θ – угол наклона вектора скорости к местному горизонту; r  текущее расстояние КЛА от центра притягивающего тела; φ – полярный угол между текущим и начальным радиус-векторами; – угол между текущими вектором скорости и вектором тяги ЭРД; P=Const – тяга ЭРД; m – текущая масса КЛА ; m=m₀–qt

Величины P, q, u_c, μ, m_o, t₀, v₀, θ₀, r₀, φ₀, v_k, θ_k, r_k– заданные числа.

Рассчитать траекторию, которая обеспечивает перелет КЛА с заданной начальной орбиты на заданную конечную орбиту.