Задача 4. Сближение ла на орбите

Рассмотреть управляемый процесс сближения двух ЛА на орбите. ЛА, выполняющий пассивную роль и не производящий манёвров с целью сближения, находится на заданной монтажной орбите. Управление движением активного ЛА осуществляется путём изменения величины и направления тяги его двигательной установки.

Составить математическую модель процесса сближения, предполагая, что : 1) монтажная орбита круговая; 2) активный ЛА находится в плоскости монтажной орбиты; 3) на активный ЛА действуют сила тяжести и сила тяги двигательной установки; 4) поле тяготения центральное.

Закономерности, связывающие характеристики процесса сближения, наиболее просто записываются в виде дифференциальных уравнений относительного движения в декартовой системе координат, начало которой совпадает с центром масс пассивного ЛА, ось y направлена по радиусу-вектору, проходящему из центра притяжения через начало координат, ось x ей перпендикулярна :

,

где  – гравитационный параметр притягивающего тела; r – расстояние от пассивного ЛА до центра этого тела; a_x и a_y – проекции управляющего ускорения на оси x и y.

Предполагая, что на активном ЛА стоят раздельные двигатели с регулируемой величиной тяги параллельно каждой из осей x и y, считать управляющими воздействиями независимые функции времени a_x=a_x(t) и a_y=a_y(t).

Рассчитать траекторию, обеспечивающую сближение ЛА за заданное время t_k-t₀ с некоторой исходной позиции до перехвата пассивного ЛА, когда x(t_k)=0, y(t_k)=0.

Задача 5. Выведение трёхступенчатого ла на орбиту спутника Земли

Рассмотреть управляемый процесс выведения составного трёхступенчатого ЛА с поверхности Земли на круговую орбиту.

Математическую модель составить с учётом следующих допущений: 1) траектория выведения расположена в плоскости орбиты спутника; 2) Земля сферическая и не вращается; 3) поле тяготения центральное; 4) на ЛА действуют сила тяжести, тяга двигателей и аэродинамические силы; 5) двигатели развивают постоянную для каждой ступени тягу; 6) траектория выведения состоит из трёх последовательных участков; 7) отделение ступеней происходит с нулевой относительной скоростью в момент прекращения работы их двигателей; 8) траекторные характеристики , ,r,φ непрерывны на всех этапах выведения.

Тогда связи между характеристиками рассматриваемого процесса описываются уравнениями движения ЛА в скоростной системе координат последовательно по примыкающим участкам [t_j-1,t_j], j=1,2,3 следующим образом:

Здесь – текущая скорость полёта ЛА; θ– угол наклона вектора скорости к местному горизонту; r– текущее расстояние ЛА от центра Земли; φ– текущая угловая дальность полёта ЛА; – угол между вектором скорости и вектором тяги Р;

P_j=    тяга двигателя j-ой ступени; m_j= m_0j ( t- t_j-1)  текущая масса ЛА на j-ом участке; u_cj- скорость истечения продуктов сгорания из сопла двигателя j-ой ступени;    секундный расход топлива двигателем j-ой ступени; m_0j= m_0j-1  (t_j  t_j-1) - начальная масса j-ой ступени; g=μ/r²  гравитационное ускорение; μ  гравитационная постоянная Земли;  сила лобового сопротивления;  подъёмная сила j-ой ступени; S_j  площадь миделевого сечения j-ой ступени; c_xj=c_0j+ , c_yj= α  коэффициенты аэродинамического сопротивления и подъёмной силы j-ой ступени; ρ=ρ₀ exp{-γ(r-R₀)}  плотность атмосферы; величины u_cj,  , m₀₁, μ, S_j, , , c_0j, c_yj^α, η _j, γ, ρ₀, R₀, t₀  заданные числа.

Рассчитать траекторию, обеспечивающую выведение спутника на круговую орбиту заданного радиуса r_k с орбитальной скоростью .