4.4. Метод Монте-Карло.

Рассмотренный выше детерминистический подход к моделированию взаимодействия нейтронов с ядрами среды имеет ряд недостатков:

- сочетание простых, но разнотипных поверхностей очень усложняет выбор пространственно-угловой сетки;

- системы алгебраических уравнений чрезвычайно громоздки, объем промежуточной информации трудно вместить даже в память современного компьютера;

- оценка погрешности решения представляет намного более трудную процедуру, чем сам процесс решения;

Метод стастистических испытаний свободен от всех этих недостатков.

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайной величины с целью вычисления характеристик ее распределения. Это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Задача метода Монте-Карло после получения ряда реализаций интересующей нас случайной величины заключается в получении некоторых сведений о ее распределении, т.е. является типичной задачей математической статистики.

Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания. Затем это испытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от остальных, и результаты всех опытов усредняются. Погрешность вычислений, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная. Это значит, что N должно быть велико, поэтому метод существенно опирается на возможности ЭВМ.

Ясно, что добиться таким путем высокой точности невозможно. Это один из недостатков метода. Во многих задачах удается значительно увеличить точность, выбрав способ расчета, при котором значительно уменьшается параметр D исследуемого функционала.

Метод Монте-Карло позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы. Для многих математических задач, не связанных с какими-либо случайностями, можно искусственно придумать вероятностную модель, которая в некоторых случаях является более выгодной.

Суть решения физических задач методом Монте-Карло заключается в следующем:

1. Физическому явлению или описывающим его уравнениям сопоставляется имитирующий вероятностный процесс.

2. Величинам, являющимся решением задачи, сопоставляются математические ожидания случайных величин вероятностного процесса.

3. На основе специального алгоритма псевдослучайных чисел производится расчет реализаций случайных величин имитирующего процесса и решение (вместе со стандартной погрешностью) находится в виде средних значений, соответствующих математическим ожиданиям.

Для применения метода Монте-Карло достаточно описания вероятностного процесса и не обязательна его формулировка в виде уравнения; оценка погрешности чрезвычайно проста, их точность слабо зависит от размерности пространства.

Моделирование переноса нейтронов

Сущность метода Монте-Карло состоит в том, что сложный статистический процесс прохождения нейтронов через вещество рассматривается как последовательность конечного числа элементарных случайных процессов (свободное движение нейтрона на некотором пути; взаимодействие нейтрона с ядрами среды, которое может привести к различным последствиям: исчезновению нейтрона в результате радиационного захвата или другого процесса, рассеянию нейтрона на ядре, делению ядра с появлением новых нейтронов и т.д.; вылет нейтрона из рассматриваемой области). Зная вероятность каждого из этих процессов, и имея источник случайных чисел, можно, шаг за шагом, воспроизводить историю движения определенной частицы в исследуемом веществе. Дойдя до процесса, в результате которого частица исчезает или переходит в интересующее нас состояние, начинаем исследовать характер движения следующей частицы. Цепочку событий, происходящих с одним нейтроном, часто называют историей нейтрона. Если рассмотреть достаточно большое количество историй нейтронов, то в итоге можно получить некоторое распределение нейтронов по пространству, направлению полета, энергии и времени. Метод случайных испытаний можно назвать "теоретическим экспериментом". Действительно, если бы абсолютно точно были известны законы элементарных событий, результаты, получаемые методом Монте-Карло, были бы подобны данным, получаемым экспериментальным путем.

Рассмотрим более подробно вероятностное моделирование типичных процессов, составляющих историю нейтрона. Будем считать, что в нашем распоряжении есть генератор случайных чисел, который выдает случайные числа из интервала от 0 до 1. Разработка подобных генераторов является самостоятельной интересной задачей.

Рождение нейтрона.

История нейтрона начинается с расчета начальных параметров его положения , направления полета , энергии , момента времени рождения . Данные параметры зависят от характеристик источника нейтронов, который присутствует в рассматриваемой системе. Для определения начальных параметров может потребоваться до 7 случайных чисел по числу размерности задачи и необходимо задание функций плотности распределения вероятностей соответствующих параметров. Если определено случайное число и плотность распределения вероятности для параметра нейтрона , то выборочное значение параметра соответствующее числу можно получить по следующей формуле:

где - функция распределения случайной величины y.

Такой способ выборки значений параметров нейтрона называется методом обратных функций.

Свободный полет.

После того как начальные параметры нейтрона определены, можно считать, что он начинает движение в рассматриваемой системе. Траектория движения нейтрона между столкновениями - прямая линия. В процессе движения нейтрон может столкнуться с ядрами среды или покинуть рассматриваемую систему. Во втором случае история нейтрона завершается. В первом случае необходимо определить место столкновения. Для этого, в однородной среде, достаточно одного случайного числа. Остановимся на этом более подробно.

Плотность распределения вероятности, нейтрону пролететь без столкновения путь в среде с полным макроскопическим сечением , равна:

Тогда для случайного числа , используя метод обратных функций, можно определить соответствующий путь по следующей формуле:

Определив путь и зная направление полета нейтрона и его начальную координату можно без труда найти координаты точки столкновения в однородной среде. Однако, если в процессе движения нейтрон может пересечь границу раздела сред с различными ядерными свойствами, задача определения координаты точки взаимодействия усложняется и для ее решения может потребоваться несколько случайных чисел.

Взаимодействие нейтрона с ядром

Определив точку взаимодействия нейтрона с ядрами среды необходимо смоделировать процесс взаимодействия. Для этого необходимо сделать ряд последовательных шагов.

Если среда состоит из ядер различного типа, необходимо определить тип ядра, с которым столкнулся нейтрон. Это легко сделать, учитывая, что макроскопическое сечение смеси ядер является суммой макроскопических сечений отдельных нуклидов.

,

где «i» индекс типа нуклида, и его концентрация и полное микроскопическое сечение соответственно.

Тогда вероятность нейтрону провзаимодействовать с «i»-ым ядром равна:

На отрезке можно выделить N интервалов, каждый из которых имеет длину . Получив очередное случайное число можно определить номер интервала в которое оно попало, а следовательно и тип ядра, с которым нейтрон будет взаимодействовать.

После определения типа ядра, необходимо определить тип реакции взаимодействия. Как уже отмечалось ранее, нейтрон может участвовать в различных ядерных реакциях на конкретном ядре. При этом вероятность осуществления реакции типа «j» пропорциональна соответствующему микроскопическому сечению . Учитывая, что полное микроскопическое сечение равно сумме парциальных сечений,

для выбора типа реакции можно использовать тот же алгоритм, что и для выбора типа ядра.

При моделировании истории нейтрона, все ядерные реакции можно разделить на три вида:

1) реакции, в которых после взаимодействия появляется тот-же нейтрон. Это реакции упруго и неупругого рассеяния, а также реакции типа . Для определения параметров нейтрона после взаимодействия, необходимо использовать различные модели, например, закон рассеяния. Определив новые значения энергии и направления движения, можно продолжать рассмотрение истории нейтрона, моделируя очередной свободный пробег.

2) реакции, в которых нейтрон исчезает. Это реакция радиационного захвата и реакции типа . В данном случае история нейтрона завершается и можно переходить к моделированию очередной истории или завершению расчета.

3) реакции, в которых после взаимодействия появляется более одного нейтрона. Это реакция деления и реакции типа . Также как и в первом случае, для определения параметров нейтронов после взаимодействия, необходимо использовать различные модели, например, спектр деления. Однако, в отличии от первого случая, история нейтрона «расщепляется», и необходимо следить за несколькими нейтронами. Для этого необходимо хранить информацию о параметрах нейтронов, которые не рассматриваются в настоящий момент.

Функционалы в методе Монте-Карло

В предыдущем разделе были сформулированы основные принципы моделирования переноса нейтронов в методе Монте-Карло. Однако вопрос об оценках нейтронных функционалов стоит выделить отдельно. Напомним, что в детерминистических методах решается уравнение переноса и определяются групповые потоки нейтронов во всех пространственных ячейках, которых, как правило, очень много. Эти потоки можно использовать для расчета различных функционалов нейтронного поля.

В методе Монте-Карло расчет потоков нейтронов и функционалов должен происходить в процессе розыгрыша каждой истории. Для этого необходимо до начала расчета выделить фазовые объемы (пространственные ячейки, сектора направлений, диапазоны энергий, интервалы времени), в которых будут оцениваться нейтронные функционалы. После того как фазовые объемы выделены, в процессе розыгрыша историй нейтронов можно накапливать суммы, характеризующие тот или иной функционал. Как правило, чтобы сделать оценку функционала независимой от числа рассматриваемых историй, все функционалы нормируются на один нейтрон источника. Наиболее просто оценить общее число ядерных реакций некоторого типа в выделенном фазовом объеме. Для этого необходимо соответствующую сумму увеличивать на единицу при «выпадании» данного события в истории нейтрона имеющего соответствующие параметры. После того как все запланированные истории будут разыграны, получившуюся сумму необходимо разделить на общее число историй. Ошибка в оценке функционала будет обратно пропорциональна квадратному корню из числа «зарегистрированных» событий. Очевидно, что чем меньше фазовый объем, тем меньше вероятность «зарегистрировать» нужное событие. Для уменьшения ошибки в оценке функционалов используют различные техники, рассмотрение которых выходит за рамки данного пособия. Также существует общее правило, что для повышения точности расчета желательно увеличивать как объем фазовой области, так и число разыгрываемых историй.

Для оценки потока нейтронов в фазовом объеме также используют подход, основанный на расчете некоторой суммы в процессе моделирования. Средний по некоторому пространственному объему полный поток нейтронов в энергетическом диапазоне и временном интервале можно записать в виде следующего интеграла:

Поток нейтронов можно выразить через плотность нейтронов . Произведение скорости нейтрона на интервал времени можно рассматривать как участок пути, который нейтрон проходит в пределах ячейки . Интеграл потока можно преобразовать в сумму «треков», которые нейтроны оставляют в фазовом объеме в процессе полета.

где - общая длина трека, который оставил «i»-ый нейтрон с энергией в объеме . Расчет треков, как и расчет точек пересечения нейтроном различных поверхностей системы, самостоятельная задача, которую необходимо решать при составлении алгоритмов и программ на основе метода Монте-Карло. Считается, что геометрический модуль, в котором производятся данные вычисления в процессе розыгрыша истории нейтрона, наиболее сложный в программе Монте-Карло.