Мдо в плоскопараллельной геометрии

Г. Вик и С. Чандрасекар в 40-х годах для решения уравнения в задачах об однородных плоскопараллельных слоях предложили заменить угловой интеграл квадратурной суммой. Этот прием и положил начало развитию методов дискретных ординат, хотя сам термин появился позднее. В первых работах решение аппроксимирующей линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений находилось аналитически. В дальнейшем с переходом к более сложным геометрическим моделям внимание сосредоточилось, главным образом, на втором шаге аппроксимации – дискретизации по пространственным переменным. В ее основу полагалась либо интегральная форма уравнения переноса, и на этом пути были предложены различные формы метода характеристик (связанные с именами В. С. Владимирова, В. И. Лебедева, В. Я. Гольдина, Р. Рихтмайера, либо соотношения баланса в ячейках разностной сети, что привело к развитию Sn методов. (На поверхности сферы расположено n(n+2) точек (n=2,4,6...). Именно это n имеют в виду, когда говорят о порядке Sn метода дискретных ординат. То есть n связано с набором симметрично расположенных точек, а не с набором квадратурных коэффициентов.) Первые схемы Sn – метода были получены Б. Карлсоном и независимо В. Я. Гольдиным, В. Н. Морозовым, Е. С. Кузнецовым в 50-х годах.

Для иллюстрации основных подходов Метода Дискретных Ординат рассмотрим задачу переноса нейтронов в плоскопараллельной геометрии. Однородная неразмножающая пластина фиксированной толщины Н облучается нейтронами на левой границе. Возникает задача расчета потока нейтронов на правой границе при известном потоке на левой границе. Параметры пластины задаются в виде параметра «с» и толщины «Н», выраженной в длинах свободного пробега. Для данной задачи одногрупповое уравнение переноса можно записать в следующем виде:

где , ; , .

Граничные условия на левой x=0 и правой x=H границ будут следующими:

, .

Необходимо найти - суммарный по всем углам поток на правой границе ( - ширина пластины).

Для начала выберем фиксированные направления и их веса (квадратурный набор). Наиболее часто используются симметричные квадратуры типа Гаусса. В таблице ** приведены значения и для М= 4. Отметим, что в плоскопараллельной геометрии все квадратурные наборы должны удовлетворять определенным соотношениям:

2,

Таблица **.

m
1	0.339981	0.652145
2	0.861136	0.347855
3	-0.861136	0.347855
4	-0.339981	0.652145

Вместо одного уравнения получилась система из 4 уравнений с соответствующими граничными условиями.

(*)

Для направлений 1 и 2 ( ) , для направлений 3 и 4 ( ) .

Выделим в пластине К=5 пространственных ячеек с одинаковой толщиной (см. рис. *). Пронумеруем ячейки с левого края.

Рис. *. Пространственное разбиение пластины.

Как видно из рисунка * имеем 5 ячеек, для которых можно ввести средние потоки в каждом направлении, и К+1=6 границ, для которым можно ввести потоки . Проведя интегрирование уравнения (*) по объему ячейки «к» можно получить алгебраическое уравнение

(**)

_{Уравнения типа (**) можно составить для каждого направления и каждой пространственой ячейки. Всего М*К уравнений. Эти уравнения можно дополнить граничными условиями:}

для направлений с ( )

для направлений с ( )

Однако, общее число неизвестных равно М*(2*К+1), а число уравнений с учетом границ только М*(К+1). Для того, чтобы систему можно было разрешить необходимы дополнительные уравнения. В различных схемах МДО используются дополнительные уравнения различного вида. Для «алмазной» схемы, о которой упоминалось выше, дополнительные уравнения в рассматриваемой задаче будут иметь следующий вид:

(***)

Решение системы уравнений (**) и (***) можно найти различными способами. Однако чаще всего используется следующая итерационная процедура:

1. Будем считать все потоки известными. Например, равными «0». Тогда можно вычислить суммы в правых частях уравнений (**), рассчитать источник рассеяния на первой итерации. Если источник рассеяния для каждого направления известен, то система из М*(2*К+1) связанных уравнений превращается в М систем из 2*К+1 уравнений не связанных между собой.

2. Для решения системы в фиксированном направлении можно использовать следующий алгоритм. Рассмотрим первое направление. Поток из граничного условия. Для определения потоков и имеем два уравнения (**) и (***), которые легко решить. Мы прошли первую ячейку. Для второй ячейки известным стал поток , а для определения и опять имеем два простых уравнения. Последовательно перебирая все ячейки мы находим все неизвестные потоки для первого направления. Аналогично, «отталкиваясь» от левой границы, можно найти потоки для любого «прямого» направления ( ). Для «обратных» направлений ( ) «отталкиваться» нужно от правой границы.

3. Используя найденные потоки можно рассчитать источник рассеяния для второй итерации и неизвестные функционалы. Если источники рассеяния в соседних итерациях отличаются незначительно, то можно прекратить итерационный процесс и принять за решение потоки на последней итерации. Завершение итерационного процесса связывают с выполнением некоторого критерия. Например, при заданной точности расчета , критерий сходимости может выглядеть следующим образом:

где - источник рассеяния на «i»-ой итерации.

Итерационный процесс, который используется для решения МДО – уравнений, может очень медленно сходиться в задаче с небольшим поглощением или его отсутствием. Это происходит из-за того, что итерационная схема большинства детерминистических методов базируется на столкновениях, каждая итерация становится причиной одного столкновения. Если по условию задачи частица подвергается большому числу столкновений, то для достижения сходимости требуется соизмеримое число итераций с числом столкновений. Поэтому очень много исследований в подобных процессах относятся к развитию схем, ускоряющих сходимость итерации.