4.3. Метод Дискретных Ординат

Как было показано выше, поток нейтронов зависит, в общем случае, от семи независимых переменных: трех пространственных, двух угловых, энергии и времени. С каждой переменной потока нейтронов связаны определенные методологические подходы, которые направлены на решение конкретных задач.

Временная переменная

Зависимость потока нейтронов от времени важна для двух принципиально разных ситуаций:

1) Изменение свойств системы в результате внешних воздействий: изменение положения органов регулирования, изменение расстояния между элементами системы и т.д. Эти процессы имеют малые характерные времена, порядка нескольких секунд, и могут приводить к значительным изменениям нейтронного поля за небольшие промежутки времени. Для анализа подобных процессов часто используют модель точечной кинетики, в рамках которой нейтронное поле зависит только от одной временной переменной и неизвестная функция характеризует общее число нейтронов в системе или полное энерговыделение в системе.

2) Изменение свойств системы в результате реакций взаимодействия нейтронов с ядрами среды, прежде всего – выгорания топлива. Эти процессы имеют характерные времена, порядка нескольких часов, и не могут приводить к значительным изменениям нейтронного поля за небольшие промежутки времени. Для анализа подобных процессов часто решают систему уравнений, описывающих изменение концентраций изотопов системы – уравнений выгорания. В результате решения системы уравнений выгорания находится изотопный состав компонентов системы в различные моменты времени, что позволяет определить в данные моменты времени параметры системы.

3) Во многих практических случаях можно предположить, что поток нейтронов не зависит от времени. В таких случаях ищут стационарный поток нейтронов . К таким задачам относятся задачи с постоянным во времени внешним источником и условно-критические задачи.

При дальнейшем рассмотрении будем рассматривать только стационарные потоки нейтронов.

Энергетическая переменная

На сегодняшний день широкое распространение при нейтронно-физических расчетах получил групповой подход. Основная идея группового подхода заключается в замене одного уравнения с энергетической зависимостью на систему уравнений, неизвестные в которых не зависят от энергии. Для этой цели на энергетической оси выделяются энергетические интервалы – группы. Нумерация групп начинается с области высоких энергий. Верхняя граница первой группы в нейтронных расчетах, как правило, лежит в диапазоне 10 – 20 МэВ, а нижняя граница последней группы лежит в диапазоне 10^-7 – 10^-4 эВ. Общее число энергетических групп «G» может достигать нескольких тысяч, но наиболее часто, в расчетах число групп составляет несколько десятков или сотен.

Для энергетической группы “g” с границами можно ввести групповой поток и групповые сечения .

Групповой поток или соответствующая ему групповая плотность нейтронов объединяет все нейтроны, энергия которых принадлежит групповому интервалу.

Как видно из определения групповых сечений переход от неизвестной функции потока к известной функции приводит к ошибкам. Для уменьшения этих ошибок можно, либо увеличивать число энергетических групп, либо повышать степень соответствия функций и , решая вспомогательные задачи.

Групповые уравнения оказываются связанными через источники рассеяния и деления. Уравнение для потока в группе “g” будет содержать источники, в которые будут входить групповые потоки других групп. Запишем, для примера, групповой источник рассеяния в группу «g»:

- сечение перевода нейтронов из группы « » в группу « ».

Сечения переводов удовлетворяют следующему условию:

Для сокращения записей сечения переводов часто объединяют в матрицу рассеяния . Элементы матрицы рассеяния – сечения перевода. Номер столбца совпадает с номером группы «g», для которой ищется источник рассеяния. Номер строки совпадает с номером группы « », по которым производится суммирование.

		ОТКУДА (номера групп « »)
		1	2	3		g			G
КУДА (номера групп «g»	1
	2
	3
	g
	G

Рис. Матрица рассеяния

Для быстрых и промежуточных нейтронов в процессе рассеяния энергия нейтронов не может увеличиваться и поэтому матрица рассеяния содержит нулевые элементы выше главной диагонали. Для тепловых нейтронов в процессе рассеяния энергия нейтронов может увеличится, если он сталкивается с ядром, имеющим большую скорость теплового движения. Матрица рассеяния для тепловых групп может содержать ненулевые элементы выше главной диагонали.

Групповой поток можно представить в виде вектора - столбца из G элементов, каждый элемент которого равен групповому потоку. В этом случае групповой источник можно записать в виде произведения матрицы на вектор:

Матричная запись источника рассеяния позволяет наглядно проиллюстрировать преимущества использования комбинированной библиотеки при одновременном расчете нейтронного поля и поля гамма-квантов, которые образовываются в результате радиационного захвата нейтронов на ядрах среды. Для проведения такого расчета формируется специальная комбинированная библиотека, в которой первые «G» групп являются нейтронными, а последующие группы с «G+1» по «GG» являются группами гамма квантов. Расчет проводится по единому алгоритму, как для нейтронов, так и для гамма-квантов. Источник гамма-квантов состоит из двух частей. Первая часть связана с реакциями радиационного захвата на ядрах среда, а вторая с реакциями рассеяния гамма-квантов на ядрах среды. Комбинированная матрица рассеяния представлена на рисунке.

		ОТКУДА (номера групп « »)
		Нейтроны	Гамма-кванты
КУДА (номера групп «g»	Нейтроны	Рассеяние нейтронов
	Гамма-кванты	Радиационный захват	Рассеяние гамма-квантов

Рис. Комбинированный источник рассеяния

При решении групповых уравнений, как правило, используют итерационные алгоритмы. Идея любого итерационного алгоритма заключается в построении сходящейся последовательности приближенных решений. Различают внутренние и внешние итерации.

Внутренние итерации – итерации по источнику рассеяния используются для нахождения потока в каждой группе «g». На каждой внутренней итерации источник рассеяния не зависит от искомого группового потока. При переходе к следующей итерации источник рассеяния пересчитывается с использованием группового потока, полученного на предыдущей итерации.

Внешние итерации – итерации по источнику деления используются в задачах с делящимися материалами для учета эффекта размножения нейтронов в реакции деления. На каждой внешней итерации источник деления не зависит от групповых потоков. При переходе к следующей итерации источник деления пересчитывается с использованием всех групповых потоков, полученных на предыдущей итерации. Отношение норм источников деления на двух последовательных итерациях является хорошей оценкой коэффициента размножения исследуемой системы.

Для выхода из любого итерационного процесса используют тот или иной критерий сходимости – условие прекращения итераций. Наиболее часто используют интегральные критерии сходимости, в которых используются нормы источников. Для прекращения итерационного процесса необходимо, чтобы разность норм источников в последовательных итерациях не превышала заданной величины, характеризующей точность расчета.