2.3. Средние величины процентов

Рассмотрим некоторые виды средних величин, которые ши­роко применяются в финансовых операциях. Средние величины позволяют снижать имеющуюся информацию. Так, если в отрас­ли занято n человек и по каждому работнику имеется информация о его доходах ). то можно, например рассчитать сред­нюю зарплату по отрасли, вычислив величину:

(4.2.5)

называемую средним арифметическим.

Можно также пользоваться и такой величиной, как среднее геометрическое. Пусть, например, имеются данные об индексах инфляции α_i- по каждому из n лет (i = 1,n). Так как α_i есть отноше­ние уровня цен на конец i-ro года к уровню цен на начало года, то за все n лет уровень увеличивается в раз. Поэтому для определения среднего годового индекса цен лучше использо­вать среднее геометрическое, равное:

. (4.2.6)

Отметим еще одну среднюю величину, которую называют сред­ним гармоническим и равную:

Анлиз показывает, что

где — среднее квадратическое.

Пример 4.2. Пусть в течение 1-го, 2-го и 3-го годов цены уве­личивались на 30%, а в течение 4-го и 5-го годов снижались на 45%. Среднее годовое изменение уровня цен за 5 лет, полученное с помощью среднего арифметического, составит:

а среднее геометрическое изменение цен будет:

Так как за пять лет уровень цен действительно понизился, то можно сделать вывод, что целесообразно применять среднее гео­метрическое при определении среднего индекса цен за ряд после­довательных лет.

Рассмотрим другой пример. Пусть в обращении имеется n на­личных рублей и t_i (i = 1,n) есть среднее время, в течение которого i-ый рубль находился в собственности одного человека. Среднее время, в течение которого каждый рубль принадлежит одному лицу, равно:

Рассмотрим другой подход. Вычислим число оборотов каж­дого рубля за год по формуле и найдем среднее арифметическое числа оборотов:

и определим среднее время по формуле:

т.е. имеем среднее гармоническое оборота рублей

Если за V принять суммарный объем всех операций за год с участием наличных денег, то связь между массой наличных денег n и объемом операций имеет вид:

Анализ показывает, что среднее время, рассчитанное как сред­нее арифметическое, является завышенной оценкой среднего вре­мени, рассчитанного как среднее гармоническое.

2.4. Переменная процентная ставка

На практике может иметь место ситуация, когда процентная ставка будет изменяться в течение срока, на которой предостав­ляется ссуда.

Пример 4.3. С учетом реальной экономической ситуации в стране банк поставил следующие условия выдачи ссуды в сумме 10 млн у.е. на один год: за первые 60 дней ссудный процент равен 100%; за следующие 60 дней — 120%, за следующие 60 дней — 150%, за следующие 60 дней — 190%, за следующие 60 дней — 240% и за остальные 65 дней — 300%. Требуется определить сум­му, возвращенную банку.

Пример 4.4. Цена на товар понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравне­нию с первоначальной ценой?

Так как проценты снижения равны r₁ = 40% и r₂= 25%, то индекс снижения i₁ = 0,4 и i₂ = 0,25. Новая стоимость товара со­ставляет (1 - 0,4)(1 - 0,25) = 0,45 или 45% от старой, а поэтому цена товара понизилась на 100 - 45 = 55%.

Пример 4.5. За первый месяц цена товара возросла на 25%, а во втором месяце вернулась к прежнему уровню. На сколько про­центов уменьшилась новая цена товара?

Если t₁ — продолжительность 1-го периода ссуды, на котором используется ссудный процент r_t, продолжительность 2-го перио­да t₂, на котором используется ссудный процент r₂ и т. д., то воз­вращаемую сумму можно определить так:

Если товар стоил 100 у.е., то после подорожания стал стоить 100(1+0,25) = 125 у.е., а затем, после снижения, стал опять стоить 100 у.е., т.е. его цена уменьшилась на .

Пример 4.6. За год цена товара в рублях возросла на 500%, а цена того же товара в долларах возросла на 20%. На столько про­центов изменился курс доллара по отношению к рублю?

Пусть товар стоил Р руб., а стал стоить (6Р) руб., т.е. его сто­имость возросла на 500% или в 6 раз, в долларовом эквиваленте товар стоил D у.е., а стал стоить (1,2 D) у.е. Очевидно, что курс доллара к рублю до инфляции составлял ,

а после инфляции —

Следовательно, курс доллара к рублю стал составлять

или повысился на 400%.