1.Вероятностные пространства

Вероятностным пространством называется тройка <Ω, F, P> где Ω - произвольное множество (пространство элементарных событий), F – алгебра, заданная на этом множестве; P – функция, которая называется вероятностью.

Опр. Событием А называется некоторое подмножество множества элементарных событий. , . А происходит если происходит любое из элементарных событий ,… находящиеся в этом множестве. Элементарное событие (простейшее) это .

Если Ω – конечное или счетное, то можно рассматривать любые подмножества, Если Ω – бесконечное мощности континуум, подмножеств .

Опр. Алгеброй событий F называется такая совокупность подмножеств подмножества Ω, что:

1.

2. то (замкнуто относительно этих операцй).

Опр. Вероятностью Р называется функция или отображение со следующими свойствами:

(Аксиомы теории вероятности)

А1. Р определена на F(F*) и принимает значение во множестве вещественных чисел.

- вероятность события А.

А2.

А3.

А4. Если - конечная аддитивность. Событие AB= Ø – A и B несовместные события.

А5. Аксиома непрерывности

- бесконечная совокупность множеств вложенных друг в друга, тогда

Вместо аксиомы А4 и А5 можно было бы рассмотреть одну аксиому А4*

А4* -попарно-несовместные события, то

Следствия из аксиом(хз надо или нет)

1.

2.

3. -попарно-несовместные события, то

4. А и В – попарно пересекающиеся (совместные)

5.

6.

7.

8.

Формула умножения вероятностей (вероятности произведения):

- условная вероятность события А при событии В.

Опр. Условной вероятностью P(A|B) определяется как ,

- формула вероятности произведения.

При независимых событиях:

Формула сложения вероятностей

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Формула полной вероятности

Теорема:

Пусть А - интересующее нас событие, кроме него заданы события В1, В2,…,Вn с такими свойствами:

А В1+В2+…+Вn, Ø, i j т.е. события В1, В2,…,Вn несовместны. Если А наступило, то это произошло ровно при одном событии В. - формула полной вероятности.

Доказательство:

События В1, В2,…,Вn называют гипотезами. Идет перебор гипотез. В1+В2+…+Вn=Ω.

В этом случае говорят, что события В1, В2,…,Вn образуют полную группу событий.

Формула Байеса

Теорема:

Предположим, что А уже произошло. При какой гипотезе это случилось?

Пусть А - интересующее нас событие, кроме него заданы события В1, В2,…,Вn с такими свойствами:

А В1+В2+…+Вn, Ø, i j т.е. события В1, В2,…,Вn несовместны. Пусть стало известно, что событие А уже произошло, тогда , k=1,2,…

Доказательство:

- произошли вместе.

Формула Бернулли

, m успехов, n – испытаний.

. Набор всех таких вероятностей образует распределение Бернулли или биномиальное распределение.

- распределение Бернулли, n – число испытаний.

2. Случайные величины

Случайной величиной назовем числовую величину, значение которой до опыта неизвестно.

Случайной величиной ζ(кси) называется отображение: Ω R, , множество .

Коротко говоря, случайная величина ζ есть измеримое отображение относительно вероятности.

Функцией распределения случайной величины ζ называется функция .

Функция распределения играет роль закона распределения, закона определяющего поведение случайной величины.

Свойства:

1. определена для ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Рассмотрим некоторую т. , т. - т. разрыва в этом случае, это разрыв I рода – скачок. Множество точек разрыва у монотонной функции не более чем счетно.

6. Определим ; .

7. Функция распределения непрерывна слева: .

Могут ли разные случайные величины иметь одинаковую функцию распределения? – ДА.

Опр. Случайная величина ζ называется дискретной если множество ее значений конечно или счетно (не более чем счетно).

Опр. Непрерывная с.в. это такая величина, множество значений которой несчетно.

Опр. С.в. ξ называется непрерывной, если для , где - плотность распределения, и она является еще одной формой закона распределения случайной величины.

Свойства функции плотности распределения:

1. определена

2.

3.

4.

Для непрерывной с.в. каждое отдельное значение принимаем с вероятностью 0.

Из этого следует, что в свойстве 3) можно расставлять строгие и нестрогие знаки неравенства.

5. . Нормировочное свойство плотности.

6. x, x+dx – малое приращение.

, т.е. функцию плотности можно представить как вероятность приходящаяся на единицу длины.

7. , x – т. непрерывности .