Для серого тела

(4.7)

где

(4.8)

— интегральная испускательная способность абсолютно черного тела, зависящая только от его температуры Т.

Уравнение (4.7) выражает закон Кирхгофа в интегральной форме для серых тел. Из него следует, что при данной температуре сильнее излучают те серые тела, которые обладают большей поглощательной способностью.

Л. Больцман, применив термодинамический метод к исследованию черного излучения теоретически, показал (1884), что интегральная испускательная способность абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры:

(4.9)

Этот закон получил название закона Стефана — Больцмана, так как еще в 1879 г. Д. Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел к аналогичному выводу. Коэффициент пропорциональности  на­зывается постоянной Сте­фана — Больцмана. В ре­зультате многочисленных экспериментов найдено, что

Первое теоретическое исследование вида функции Кирхгофа было предпринято московским физиком В. А. Михельсоном (1887). В. Вин рассмотрел (1893) задачу об адиабатическом сжатии черного излучения в цилиндрическом сосуде с подвижным зеркальным порш­нем и зеркальными стенками.

(4.10)

где — постоянная величина, зависящая от вида функции f (v/Т). Уравнение (4.10) выражает закон смещения Вина: частота, соответствующая максимальному значению испускательной способности абсолютно черного тела, прямо про­порциональна его абсолютной температуре.

Обычно закон смещения Вина записывают в несколько иной форме:

для максимума испускательной способности абсолютно черного тела , отнесенной к интервалу d длин волн (в вакууме),

(4.11)

где - энергия электромагнитного излучения за единицу вре­мени с единицы площади поверхности абсолютно черного тела в ин­тервале длин волн от  до  + d .

Длина волны , соответствующая максимальному значению испускательной способности абсолютно черного тела, обратно про­порциональна его абсолютной, температуре:

Это другая форма выражения закона смещения Вина, который полностью согласуется с результатами экспериментов. По современным данным, постоянная Вина . Из закона Вина (4.10') видно, что при понижении температуры абсолютно черного тела мак­симум энергии его излучения смещается в область больших длин волн.

Рэлей подошел (1900) к изучению спектральных закономерностей черного излучения с позиций статистической физики, а не термоди­намики, как это делали его предшественники. Он рассмотрел равновесное (черное) излучение в замкнутой полости с зеркальными стен­ками как совокупность пространственных стоячих электромагнитных волн хорошо согласовалась

Формула Рэлея — Джинса

(4.12)

где  - частота, - скорость света, - постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.

с данными экспериментов только в области малых частот излучения. Для больших ча­стот она была явно неверна (рис. 4.3).

Рис. 4.3.

Различие формулы Релея – Джинса с экспериментальными данными по формуле Вина

Формула Рэлея - Джинса противоречила также закону смещения Вина и закону Стефана - Больц­мана: по формуле (4.12) моно­тонно возрастает с ростом частоты, не имея максимума, а интегральная испускательная способность абсолют­но черного тела при любой темпера­туре обращается в бесконечность. Работы Рэлея и Джинса ясно показали, что последовательное при­менение классической физики к исследованию спектрального состава черного излучения дает абсурдные результаты, находящиеся в противоречии с законом сохранения энергии.

Невозможность отыскания методами классической теоретической физики такого выражения для функции Кирхгофа, которое согласо­валось бы с данными экспериментов во всем интервале частот от 0 до , получило образное название «ультрафиолетовой катастрофы». Найти правильное выражение для функции Кирхгофа и дать теоретическое обоснование спектральных закономерностей черного излучения впервые удалось немецкому физику М. Планку. Планк выбрал наиболее простую модель излучающей системы (стенок полости) в виде совокупности линейных гармонических осцилляторов (электрических диполей) со всевозможными собственными частотами v. Исходя из того, что в состоянии термодинамического равновесия рас­ход энергии на излучение осцилляторов с собственной частотой v должен полностью компенсироваться в результате поглощения этими осцилляторами энергии падающего на них излучения.

Следующий основной этап исследования, завершенный Планком в де­кабре 1900 г., состоял в выяснении физического смысла и теоретиче­ском обосновании столь удачно угаданного им соотношения между энтропией и средней энергией осциллятора. Ему пришлось ввести так называемую квантовую гипотезу. Согласно квантовой гипотезе Планка, энергия осциллятора может принимать только определенные дискретные значения, равные целому числу элементарных порций - квантов энергии : (n = 0; 1; 2; …).