Алгебра множеств
Пусть
,
P(M)
– булеан
Алгебра высказываний
Пусть
А - множество высказываний относительно
и 
.
Обозначим через f высказывание, которое всегда ложно и через t высказывание, которое всегда истинно, (f – противоречие, t – тавтология).
, т.к. 
,
т.к. А замкнуто, то
- алгебра высказываний.
Алгебра событий
, где 
- пространство элементарных событий,
унарная операция 
есть операция перехода к противоположному
событию, 
- невозможное событие, и
- достоверное событие.
Свойства булевой алгебры
Принцип двойственности. Для любой теоремы булевой алгебры, двойственная теорема также верна.
Теорема
1.
Нейтральные элементы
и
относительно + и 
соответственно единственны.
Теорема
2.
.
Теорема 3. ( Закон идемпотентности).
.
Теорема 4. ( Закон идентичности).
,
.
Теорема 5. (Закон абсорбции или поглощения)
,
.
Теорема 6. ( Закон инволюции)
.
Теорема 7. (Законы де Моргана).
,
.
Теорема
8.
, 
.
Докажем, например, теорему 7.
Второй закон де Моргана верен по принципу двойственности.
Замечание. Важным приложением булевой алгебры является анализ электронных цепей, связанных с разработкой и проектированием таких цифровых устройств как компьютеры, телефонные системы и электронные системы контроля.
Алгебраические системы
На
непустом множестве 
,
наряду с алгебраическими операциями
можно рассматривать и семейство
отношений.
def.
Упорядоченная тройка 
называется алгебраической
системой,
где
– множество алгебраических операций
на А,
- множество отношений заданных на
множестве А.
Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем (в которых множество отношений пусто). Другим частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения. Отношение изоморфизма для алгебраических систем вводится аналогично тому, как это было сделано ранее для алгебр, с той разницей, что к условию сохранения операций добавляется условие сохранения отношений при изоморфизме.
Рассмотрим здесь лишь один пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и её применениях. Этот пример – решётка.
Решетки
def.
Решёткой
называется частичное упорядоченное
множество 
,
в котором каждая пара элементов имеет
и 
.
Для заданных элементов 
элемент 
называется пересечением
элементов
(обозначается 
),
а 
называется объединением
элементов
(обозначается
),
таким образом решётка – это алгебраическая
система 
.
Отметим,
что операции 
здесь понимаются как абстрактные
операции алгебраической системы и
отличаются от теоретико-множественных
операций объединения и пересечения,
определенных в алгебре множеств (в
частных случаях могут с ними совпадать).
Решетка – это алгебраическая система
где
- бинарные операции на множестве
,
- бинарное отношение частичного порядка
на
.
Заметим, что если в системе введены операции , то отношение можно по этим операциям восстановить следующим образом:
, а также
Наименьший (наибольший) элемент решетки, если он существует, называют
нулем (единицей). Обозначаются эти элементы соответственно через 0 и 1. В конечных решетках всегда имеются 0 и 1.
Пример 1. Любое конечное линейно упорядоченное множество является решеткой.
Пример
2.
Рассмотрим 
,
в котором 
,
а элементы 
.
Система
образует решётку, показанную на рисунке
1.
В этой решётке a=0, e=1
Пример
3.
Если |
| > 1 , то ч.у.м. 
не является решеткой, поскольку для
любых различных элементов 
из множества А не определены операции
и
по отношению 
.
def.
Решетка
называется дистрибутивной,
если она подчиняется дистрибутивным
законам, т.е.
.
Не
все решётки являются дистрибутивными.
Решётка, изображенная на рис. 1, не
дистрибутивна, поскольку 
,
тогда как 
.
Дистрибутивная
решётка
называется булевой
алгеброй,
если в
имеется 0 и 1, 
и 
Р
ешетка
на рис. 2 является дистрибутивной.
Пример
4.
Рассмотрим множество 
и зададим частичный порядок
на
следующим образом: 
Система
является булевой алгеброй, в которой
,
.