Алгебры с двумя бинарными алгебраическими операциями

def. Алгебра А = < А, +,∙ > называется ассоциативным кольцом с единицей (или кратко кольцом), если выполняются следующие условия:

1. Алгебра < A,+ > - коммутативная (абелева) аддитивная группа;

2. Алгебра < A, ∙ > - мультипликативный моноид;

3. Операция умножение дистрибутивна относительно сложения, то есть

a.

def. Кольцо А = < А, +,∙ > называется коммутативным, если операция умножения коммутативна, т.е.

.

Пример 8. Алгебра < Z,+,∙ > - коммутативное кольцо.

Пример 9. Алгебра < М(n;R),+,∙ > - кольцо (при n > 1 это некоммутативное кольцо).

def. Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обладает обратным относительно операции умножения, называется полем.

Пример 10. Кольцо целых чисел < Z,+,∙ > с обычными операциями сложения и умножения полем не является (не для каждого элемента существует обратный к нему).

Пример 11. Среди бесконечных полей особое значение имеют три. Это - < Q,+,∙ >, < R,+,∙ > и

< С,+,∙ > (поле рациональных, действительных и комплексных чисел, соответственно).

Наряду с бесконечными полями имеются многочисленные конечные поля, называемые полями Галуа в честь французского математика Галуа, который в возрасте около 20 лет создал основы современной алгебры и, в частности, открыл конечные поля. Конечные поля играют центральную роль в криптографии (кодировании и шифровании), в математических моделях микромира и др. Рассмотрим основные построения теории конечных полей Галуа.

Определим сравнимость целых чисел по модулю m, то есть бинарное отношение эквивалентности на множестве целых чисел (º ).

def. Пусть Z – множество целых чисел. Назовем два числа x и y из Z сравнимыми по модулю m (m ) и запишем xºy(mod m), если равны остатки этих чисел от деления на m, то есть разность (x-y) делится на m.

Отношение “сравнимых по модулю m целых чисел” есть отношение эквивалентности на множестве целых чисел Z. Действительно:

• это отношение рефлексивно, так как ( ) x-x = 0, и, следовательно, оно делится на m;

• это отношение симметрично, так как если (x-y) делится на m, то и (y-x) тоже делится на m;

• это отношение транзитивно, так как если x-y делится на m ,то для некоторого целого t₁ имеем x-y = t₁∙m , а если y-z делится на m ,то для некоторого целого t₂ имеем y-x = t₂∙m; отсюда

x-z = ( t₁+t₂) ∙m , то есть x-zделится на m.

Отношение эквивалентности º определяет разбиение множества Z на m подмножеств – классов эквивалентности, . Обозначим фактор – множество через

def. Введем на = операции следующим образом:

+ = – сложение; ∙ = - умножение.

Такое определение операций корректно. В самом деле, если х₁º х (mod m), y₁ºy (mod y), то

х₁+у₁ º (х+у) (mod m) и x₁∙y₁ º x y (mod m).

Далее < ,+,∙ > есть коммутативное кольцо. Тогда имеем ∙ = ∙ = для

Кольцо Z_m называется кольцом вычетов по модулю m.

Пример 12. Рассмотрим теперь кольцо Z_2. Это кольцо является полем. Действительно, это коммутативное кольцо с единицей ; здесь единственный ненулевой элемент и он обратим ( = ).

Поле Z₂ – конечное поле из двух элементов. Оно важно для приложений. Приведем таблицы Кэли операций сложения и умножения в поле Z₂. Будем для простоты вместо

Имеет место теорема, говорящая о том, что существует много конечных полей.

Теорема. Кольцо Z_m является полем тогда и только тогда, когда m - простое число.