Счетные и несчетные множества

def. Множества А и В называются изоморфными, если существует биективное отображение множества А на В. Обозначаются изоморфные множества: А @ В.

Утверждение. Бинарное отношение «быть изоморфными» на совокупности множеств является отношением эквивалентности.

Следствие. Относительно отношения «быть изоморфными» все множества объединяются в классы. Каждый класс состоит из изоморфных между собой множеств.

dеf. То общее, чем обладают множества одного и того же класса (количество элементов) называются кардинальным числом (т.е. количественным) или мощностью множеств данного класса.

Мощность множества А обозначается через |А|. По соглашению |Æ| = 0.

Пример 1.|{a}|=1; |{a,b | a ¹ b}| = 2.

def. Множества X и Y называются равномощными, если существует биективное отображение множества Х на множество У.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. Если множества X и Y равномощны, то пишут X @ Y.

Пример 2. Пусть Х – множество действительных чисел, Y – множество точек координатной прямой. Установим между ними следующее соответствие f: действительному числу a сопоставляется точка M(a) координатной прямой. Соответствие f – биективное отображение Х на Y, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на прямой соответствует только одному числу. Следовательно, Х @ Y.

Пример 3. Пусть Х – множество точек отрезка АВ, Y– множество точек отрезка СD, причем длины отрезков различны. Так как существует биективное отображение множества Х на множество Y (см. рис.), то Х @ Y.

N

A

M

B

D

B

M^’

Пример 4. Вопрос: Где больше точек? На отрезке длиной 1 см или на отрезке длиной 1 м?

Ответ:

Конечные и бесконечные множества

В теории конечных множеств справедливо утверждение: «часть меньше целого».

Пример 5. А = {1,2,3,4,5}, В ={1,2,3}, B Í A и B ¹ A.

Нельзя установить взаимно-однозначное соответствие между конечным множеством и его собственным подмножеством.

def. Множество А называется конечным, если оно не равномощно никакому собственному подмножеству. В противном случае множество называется бесконечным.

def. Бесконечным называется множество, из которого можно выделить равномощное ему собственное подмножество.

Пример 6. Рассмотрим множества N и A={xÎN| x - четное число}, А Í N, A ¹ N. Между N и А можно установить взаимно однозначное соответствие:

N : 1 2 3 ... n ...

A: 2 4 6 ... 2n ...

Таким образом, в теории бесконечных множеств теряет силу утверждение, что «часть меньше целого».

def. Кардинальное число называется конечным, если оно является мощностью конечного множества.

def. Конечные ненулевые кардинальные числа называются натуральными числами. Другими словами, натуральное число – это общее свойство класса конечных непустых равномощных множеств.

Наименьшей бесконечной мощностью является À₀ - мощность множества натуральных чисел. À₀ = |N| (алеф нуль).

def. Множества, равномощные множеству натуральных чисел называют

счётными.

То есть множество является счётным, если его элементы можно перенумеровать.

Пример 7. Z @ N. Докажем это.

Если мы попробуем нумеровать множество Z по порядку, начиная с какого-нибудь места, то никогда эту нумерацию не закончим. Поэтому все числа до выбранного места останутся незанумерованными.

... , -n, ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... , n, ...

Иными словами, все положительные числа и нуль нумеруются нечетными числами, а все отрицательные целые числа - четными.

Пример 8. Q @ N. Докажем это.

Выпишем сначала все положительные дроби со знаменателем 1, потом все положительные дроби со знаменателем 2, потом со знаменателем 3 и т.д. У нас получается таблица следующего вида:

Ясно, что в этой таблице, мы встретим любое положительное рациональное число, и при этом ни один раз. Например, число 3 встретится и в виде дроби , и в виде дроби , и в виде дроби .

Нумеруем по квадратам. При нумерации некоторые дроби будем пропускать. Например, так как получает уже №1, то дроби , и т.д. пропускаем: они выражают то же самое число. Получается следующая нумерация: 1, 2, , 3, , , , 4, , , , ...

Мы занумеровали все положительные рациональные числа. А теперь уже легко понять, как нумеруются все (то есть положительные и отрицательные) рациональные числа. Для этого надо записать их отдельно в виде двух таблиц и числа одной таблицы нумеровать чётными номерами, а второй – нечетными и еще оставить один номер для нуля.

Теорема 1. Множество действительных чисел несчётно.

Доказательство.

def. Мощность множества действительных чисел называем мощностью континуума и обозначаем готической буквой или древнееврейской буквой À («алеф»). Известно, что мощность больше мощности À₀ счётных множеств.

Есть ли между À₀ и À другие кардинальные числа – знаменитая континуум проблема в математике.

В 1960 г. проблема была решена американским математиком Коэном. Она решается аналогично проблеме пятого постулата Евклида в геометрии. Ни утверждение проблемы, ни отрицание её из аксиоматики теории множеств доказать нельзя. Если в качестве аксиомы взять, что между ними есть числа, то возникает одна ветвь математики, если нет, то другая совершенно независимая.

Примерами множеств мощности континуума являются множества точек любого отрезка, луча, прямой.

Теорема 2. Всякое подмножество счетного множества конечно или счётно.

Теорема 3. Объединение счётного числа счётных множеств счётно.

Теорема 4. Всякое бесконечное множество А содержит счётное множество В, притом такое, что А \ В есть бесконечное множество.

Теорема 5. Всякое бесконечное множество А содержит подмножество В @ А, причем А \ В есть бесконечное множество.

Теорема 6.(Кантора-Бернштейна). Если из двух множеств А и В каждое изоморфно части другого, то эти два множества изоморфны между собой, то есть

|A| ≤ |B| Ù |В| ≤ |А| => |A| =|B|.