С помощью матриц.
Рассмотрим
два конечных множества
и
и бинарное отношение
.
Введем матрицу
бинарного отношения Р
следующим образом:
Эта матрица содержит полную информацию о связях между элементами множеств А и В и позволяет представить эту информацию в графическом виде на компьютере. Заметим, что любая матрица, состоящая из нулей и единиц, является матрицей некоторого бинарного отношения.
Частные случаи:
Матрица тождественного отношения
представляет собой единичную матрицу:
Матрица полного квадрата представляет собой матрицу, все элементы которой равны 1:
Операции над бинарными отношениями
Для бинарных отношений обычным образом вводятся теоретико-множественные операции объединения и пересечения.
Def:
Обратным
к P
отношением P-1
называется множество
.
Def:
Композицией (суперпозицией) бинарных
отношений
и
называется множество
Пример 3. Если
,
,
то
Теорема 1. Для любого бинарного отношения выполняются следующие свойства:
(свойство
ассоциативности композиции)
Доказательство.
Свойства матриц бинарных отношений
Матрица любого бинарного отношения обладает следующими свойствами:
Если
и
,
,
то
;
,
причем сложение элементов определяется
по правилам: 0+0=0; 1+0=0+1=1; 1+1=1, а умножение
– почленно обычным образом, то есть по
правилам: 1*0=0*1=0;
1*1=1; 0*0=0.Если ,
,
то
и матрицы умножаются по обычному правилу
умножения матриц, но произведение и
сумма элементов при перемножении матриц
находится по правилам п.1.
,
где
- матрица обратного отношения
.
Если
,
то
,
где
,
.
Пример
4.
Пусть
,
.
Свойства бинарных отношений
Пусть
и
.
Def:
Отношение
P
называется рефлексивным
на А,
если
,
то есть
.
Замечание 1.
Вместо записи
часто используют более простую:
.
Пример 5. Отношение делимости на множестве целых чисел, отношение включения на булеане непустого множества.
Отношение P рефлексивно тогда и только тогда, когда все вершины графа имеют петли.
Def:
Отношение
P
называется симметричным
на А,
если
.
Пример 6. Отношение равенства на любом числовом множестве, отношение параллельности на множестве всех прямых плоскости.
Отношение
симметрично тогда и только тогда, когда
всякий раз вместе с ребром
граф содержит ребро
.
Def:
Отношение
P
называется антирефлексивным
на А,
если
.
Пример 7. Отношение неравенства на любом числовом множестве, отношение перпендикулярности на множестве всех прямых плоскости.
Отношение антирефлексивно тогда и только тогда, когда ни одна из вершин графа не имеет петлей.
Def: Отношение P называется антисимметричным на А, если
.
Пример 8. Отношение неравенства на любом числовом множестве, отношение включения на булеане непустого множества.
Отношение антисимметрично тогда и только тогда, когда вместе с каждым ребром граф не содержит ребра . Граф антисимметричного отношения может содержать петли.
Замечание 2.
Антисимметричность не совпадает с
несимметричностью:
например, отношение
на множестве
несимметрично, так как
,
а
,
и не антисимметрично, поскольку
и
,
но
.
Диагональ непустого множества А
(
)
является примером симметричного и
антисимметричного отношения. Вообще,
любое подмножество
обладает одновременно свойствами
симметричности и антисимметричности.
Def:
Отношение
P
называется транзитивным
на А,
если
.
Пример 9. Отношение параллельности на множестве всех прямых плоскости, отношение включения на булеане непустого множества.
Отношение
транзитивно тогда и только тогда, когда
вместе с каждой парой ребер
и
граф содержит ребро
.
Def:
Отношение
P
называется связным
на А,
если
.
Пример 10. Отношение «меньше» на любом числовом множестве.
Отношение транзитивно тогда и только тогда, когда любые две вершины графа соединены одним и только одним ребром.
Пример 11. Определить свойства отношения Р по его графу.