3 Реалiзацiя експеримента

Як приклад, розглянемо проведення досліду для наведеної вище матри­ці (табл. 6.1). Припустимо, що вхідні параметри складу стічної води виз­на­­чаються факторами Х₁ і Х₂, а параметр керування позначено фактором Х₃.

4 Визначення точності експеримента

В кожному досліді відхилення значень, що отримані, повинні бути мі­­німальними, тобто виміри параметрів оптимізації мають бути максимально точними.

Для визначення цього відхилення, що характеризується дисперсією, спочатку обчислюється середнє значення параметра опти­мі­зації в кожному досліді:

i=1,2,...n ,

(3)

де m – кількість повторень в даному досліді;

i – порядковий номер досліду в матриці.

(4)

Результати кожного досліду повинні бути вимірені з од­на­ко­вою точ­ніс­­тю. Для перевірки цього зазвичай вико­ристовують при­пущення про од­но­рідність дисперсій параметра оптимізації. Перевірка гіпотези од­но­рід­ності дисперсій здій­с­­нюється за до­помогою критерiя Кохрена, який є відношенням мак­си­мальної ди­с­­­персії в дослідах до суми всіх дисперсій експери­мента:

(5)

де - максимальне значення вибipкової диспеpсiї.

Якщо дисперсiї однорiднi, то

Gmax<Gp(N,m-1),

(6)

де G_p(N, m-1) табульоване значення критерiя Кохрена при рiв­нi значимостi р (зазвичай його приймають 5%).

Математична модель процеса очистки подається у вигляді по­лінома:

(7)

де x_i,x_j – фактори;

b₀, b_i, b_ij, - коефіцієнти полінома.

Як перше наближення для рівняння регресії зазвичай ви­ко­рис­­то­ву­єть­ся поліном неповного другого ступеня. Якщо во­но не від­повідає ре­аль­но­му процесу очистки стічних вод, тоб­то не адек­ватне йому, здій­с­ню­ється по­будова моделі, яка опи­су­ється полі­номом другого рівня. Як­що не адек­ват­не і це рів­нян­ня, то будують рівняння більш високих сте­пеней.

Розрахунок коефіцієнтів регресії лінійних членів по­лі­но­ма здій­с­ню­ється за формулою:

,

(8)

де - середне значення параметра оптимізації в дослі­ді.

,

(9)

де x_i - кодоване значення фактора в і-му досліді.

Коефіцієнти регресії, які характеризують взаємодію фак­то­рів (ефектів подвійної взаємодії), ви­зна­чаються за формулою:

(10)

Коефіцієнти регресії, які характеризують ефекти потрійної вза­ємодії, ви­зна­чаються за формулою:

(11)

Визначення значимості коефіцієнтів регресії

Значимість коефіцієнтів регресії перевіряється порів­нян­ням їх величини із значенням довірчих інтервалів , які для варіанту плану­ван­ня експерименту, що разглядається, од­на­кові для всіх коефіцієнтів.

Для оцiнки значимостi ко­ефiцi­єн­тiв рiвняння регресiї (7) необхiдно спочатку знайти дисперсiю вiдтворення. Якщо дисперсiї однорiднi, то дисперсiя вiдтво­рен­ня:

(12)

Дисперсія коефіціентів регресії визначається з виразу

(13)

При відоміх дисперсіях довірчий інтервал коефiцi­єн­тiв рiвняння регресiї дорівнює:

,

(14)

де t - табличне значення критерія Стьюдента при числі сте­пеней сво­боди, з якими визначалось і вибраному рівні зна­чимості.

Коефіцієнт регресії рахується значимим, якщо його аб­со­лют­не зна­чен­ня перевищує величину довірчого інтервалу.

Перевірка адекватності моделі

Перевірка гіпотези адекватності прийнятої моделі реальному процесу здійснюється за критерієм Фішера:

,

(15)

де - дісперсія адекватності;

- дісперсія відтворення.

Диспеpсiя адекватності визначається за формулою

(16)

де - значення параметра оптимізації, яке отримане роз­­рахунком з рів­няння регресії, з якого виключени всі не­зна­чимі члени (коефіцієнти ре­гресії, які визнані незна­чи­ми­ми, приймаються рівними 0 і тому не вхо­дять в математичну мо­дель процеса очистки).

Якщо значення F , що отримано, менше таблич­ного Fp (f1, f2) для обраного рiвня значимостi р i чисел степенiв сво­боди f1 = N-1 i f2 = N-l, то гіпотеза адекватності приймається. В іншому випадку застосовується планування дру­го­го порядка.

Перевірка необхідності планування другого порядка

Перевірка необхідності планування другого порядка обо­в'яз­кова в тому випадку, коли в рівнянні регресії, що от­ри­мане, хоча б один ко­е­фі­цієнт при парних взаємодіях X_i був зна­чи­мим. Значимість його є до­стат­ньою підставою для ствер­д­жен­ня про нелінійність математичної мо­де­лі.

Необхідність планування другого порядка оцінюється по внеску у величину параметра оптимізації коефіцієнтів поліно­ма другої і більшої степеней. Оцінка суми коефіцієнтів при квадратичних і більш високих степенях визначається за величи­ною різниці між вільним членом b₀ в рівнянні регресії і се­ред­нім значенням , яке отримане з додаткових до матриці до­слі­дів в центрі експеримента. Додаткові досліди прово­дять­ся при нульових кодованих значеннях всіх факторів.

Значимість різниці оцінюється за критерієм Стьюдента:

,

(17)

де - отримана раніше дісперсія, що характеризує похибку дос­лі­дів.

Значення критерія Стьюдента порівнюється з його табличним зна­ченням. Якщо отримане значення критерія менше таблич­но­го, приймається гіпотеза про незначність квадратичних чле­нів. Таке рішення дозволяє відмовитись від планування другого порядка і обмежитись поданням рівняння регре­сії по­ліномом не­повної другої степені (без квадратичних членів).

В іншому випадку виконується планування експерименту дру­­­гого порядку. Методика такого планування викладена в спе­ці­­­альній літературі.

Приклад побудови математичної моделі з використанням апарата планування експеримента

Розглядається задача побудови математичної моделі процесу електронейтралізації кислих стічних вод підприємств первинної обробки вовни [4]

Під час дослідів параметром оптимізації була величина рН ка­толіта під час електронейтралізації. Як фактори прийняті та­кі параметри управління процесом:

Х₁ – сила струму, А;

Х₂ – відстань між електродами, см;

Х₃ – тривалість процеса, хв.

Реалiзацiя експеримента

Для побудови математичної моделі процеса електронейтра­лі­зації прийнятий план повного факторного експеримента типу 23, матриця якого наведена в табл. 6.2.

Обрахування значень таблиці починаючи з колонки 7 та інших критерієв до­ці­ль­­но виконувати за допомогою електронної таблиці Excel.

Таблиця 6.2 Матриця, результати і розрахунок планованого факторного експерименту

кодування факторів номер досліду	сила струму,А	відстань між електродами,см	тривалість процесу, хв
	х1	х2	х3	У1	У2	Усер	S2	Yp	(Ycep-Yp)2
верхній рівень	4	8	40
нульовий рівень	2,25	5	25
нижній рівень	0,5	2	10
інтервал	1,75	3	15
1	1	1	1	11,89	11,91	11,9	0,0002	12,37	0,2180
2	-1	1	1	4,82	4,82	4,82	0	5,38	0,3101
3	1	-1	1	11,82	11,83	11,825	5E-05	11,28	0,2991
4	-1	-1	1	5,24	4,61	4,925	0,19845	4,38	0,2936
5	1	1	-1	5,92	5,54	5,73	0,0722	5,17	0,3157
6	-1	1	-1	4,53	4,34	4,435	0,01805	3,86	0,3270
7	1	-1	-1	5,34	5,3	5,32	0,0008	5,89	0,3270
8	-1	-1	-1	4,53	4,31	4,42	0,0242	5,00	0,3386
						53,375	0,31395
Критерій Кохрена							0,632107
Табличне значення							0,68

Висновок

На даній роботі ми вивчали теоретичні основи та практично застосовували методику планування експерименту для визначення математичної моделі.

Ми розглянули критерії Стьюдента, Фішера та Кохрена.

Останній з них ми визначали за допомогою допоміжної таблиці Exсel, підставляючи довільні значення в колонки 5 та 6. При цьому змінювалися подальші значення, наведені в тій же таблиці. Відповідно, значення рівняння математичної моделі змінилося.

Після зміни значень, змінився і критерій Кохрена. Він став менше табличного, і задовольнив умову однакової точності проведення паралельних експериментів.

16