2 Нулевой вариант
Вычислить интегралы.
1.
|
8.
|
2.
|
9.
|
3.
|
10.
|
4.
|
11.
|
5.
|
12.
|
6.
|
13.
|
7.
|
14.
|
|
15.
|
3 Решение 0 варианта
Пример 1
Вычислить
Решение.
Так как
,
то, используя свойства дифференциала
получаем
,
обозначив
получаем
Пример 2
Вычислить
Решение.
Внесём
под знак дифференциала
и используя формулу
получим:
Пример 3
Вычислить
Решение.
Внесём
под знак дифференциала и воспользуемся
формулой
тогда, так как
и
получаем
Пример 4
Вычислить
Решение.
Сделаем подстановку
,
продифференцируем данное равенство
,
поэтому
,
Пример 5
Вычислить
Решение:
Поскольку
,
сделаем замену
,
тогда
.
При вычислении интегралов содержащих
квадратный трёхчлен в знаменателе
выделим в знаменателе полный квадрат
по переменной
Получаем
=
Пример 6
Вычислить
Решение: Это интеграл от правильной алгебраической дроби, т.к. степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Разложим знаменатель на множители
т.к. корни действительные и различные, то данная правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей вида:
Для
нахождения чисел
воспользуемся методом частных значений.
полагаем:
следовательно
Пример 7
Вычислить
Решение:
Т.к. под интегралом стоит произведение
многочлена на обратную тригонометрическую
функцию, то используем метод интегрирования
по частям
.
Интеграл
,
под знаком интеграла стоит неправильная
алгебраическая дробь, выделим целую
часть, выполнив деление многочлена на
многочлен уголком, получаем
Пример 8
Вычислить
Решение:
Представим интеграл в виде суммы двух
интегралов
.
Внеся
множители под знак дифференциала и
используя табличные интегралы
;
получаем
Пример 9
Вычислить
Решение:
. Подстановка
сводит данный интеграл к виду
,
который сводится к табличному выделением
в знаменателе полного квадрата по
переменной
.
,
получаем
Пример 10
Вычислить
Решение:
интеграл от дробных степеней переменной
,
наименьшее общее кратное знаменателей
равно
,
поэтому полагая
,
Подставив получаем:
=
Пример 11
Вычислить
Решение:
Под знаком интеграла стоит чётная
степень синуса, используем формулу
понижения степени
=
Пример 12
Вычислить
Решение:
Под интегралом стоит рациональная
функция относительно
.
Применим универсальную тригонометрическую
подстановку
,
получаем
Пример 13
Вычислить
Решение:
Под
знаком интеграла стоит произведение
тригонометрических функций, используя
формулы преобразования произведения
в сумму, получаем
.
Подставляем
Пример 14
Вычислить
Решение:
Подинтегральную функцию можно представить
в виде произведения
.
Сумма показателей
чётное число, поэтому числитель и
знаменатель разделим на
.
=
Пример 15
Вычислить
Решение
Воспользуемся подстановкой
,
которая приводит интеграл к рациональному
виду.
