Лабораторна робота № 4. Розв’язок алгебраїчних рівнянь в математичному пакеті «Маткад».

Алгебраїчні рівняння в Маткаді розв’язуються як чисельними, так і аналітичними методами. У даній лабораторній роботі будуть розглянуті обидва методи

Чисельний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

При чисельному розв’язуванні систем лінійних рівнянь використовується спеціальний обчислювальний блок, що відкривається службовим словом - директивою Given. Блок має наступну структуру:

Задання початкових наближень

Given

Рівняння

Обмежувальні умови виразу функцією find

Завдання 1. Нехай необхідно розв’язати систему

3x +8y - 9z = 12

5x - 9y + 2z = 34

8x -6y + 5z = 98.

Для цього необхідно зробити наступні дії:

1. Набрати початкові наближення - довільні числа

х: = 1 y: = 1 z: = 1

2. Набрати з клавіатури директиву Given (дано);

3. Набрати систему рівнянь, обов'язково записуючи знак множення, причому знак = потрібно набирати не на арифметичній панелі, а на панелі логіки (знак тотожності), яка виводиться на екран кнопкою математичної панелі.

4. Набрати вираз otvet: = find (x, y, z)

5. Набрати otvet =

Після цього буде отримано відповідь у вигляді вектора - стовпця.

Замість слова otvet можна використовувати будь-який набір букв і цифр, що починається з букви. Цей набір означає ім'я, яке Ви привласнюєте вектору відповідей. На рис.1 показано розв’язок цієї системи

Рис.1. Розв’язок системи лінійних рівнянь

Завдання 2. Розв’яжіть самостійно наведені нижче системи лінійних алгебраїчних рівнянь

А) 5x +6y - 9z +2v -7w = 90

3x - 4y + 5z- 3v +4w = 12

9x + y + 3z -2v +9w = 51

7x + 2y– 8z +v +10w = 32

6x + 5y– 4z +3v - 2w = 87

Б) 4.5x +7.9y-2.1v +6.75w +7.9u = 43

5.6x +7.2y +9.8z +3.9v +3.4w +8.3u = 12.54

5.6x + 98.5y+ 43.7z +67.85v +4.9w + 21.5u = 54.98

65.75x +54.32y-78.32z -565.9v +32w +78.54u = 55.5

54.2x +76.45y+ 32.23z +45.71v+ 43.43w +u = 65.21

8.9x + 9.8y –5.6z + 6.5v – 4.5w +2.1u = 0

Подібним чином можна розв’язувати і нелінійні рівняння. Проте вони часто мають декілька коренів. Вибравши собі початкове наближення, ми знайдемо в кращому випадку лише один корінь, найближчий до цього початкового наближення. Таким способом можна буде шукати коріння трансцендентних рівнянь, що мають, як відомо, нескінченну кількість коренів.

Завдання 3. Знайти корінь трансцендентного рівняння

х sin (x) + cos (x) = 1.5,

найближчий до x = 1.

Набираємо завдання описаним вище способом і знаходимо значення х

Маткад дозволяє розв’язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь в матричній формі. Розв’язок можна отримати двома способами.

1 Спосіб.

Як відомо, система лінійних алгебраїчних рівнянь в матричній формі має вигляд:

AX = B,

де А - квадратна матриця коефіцієнтів,

X - вектор-стовпець невідомих,

В - вектор - стовпець правих частин.

Розв’язок системи в матричній формі: X = A^-1 B.

Розв’яжемо в матричній формі систему

Для цього (див. рис. 2):

1) Наберемо ORIGIN: = 1. Як говорилося вище, це означає, що рахунок елементів буде проводитися не від нуля, а з одиниці.

2) Введемо матрицю А.

3) Введемо вектор - стовпець В.

4) Набір вирази для Х бажано виконувати, використовуючи відповідну кнопку матричної панелі.

5) Після цього наберемо X = і відразу отримаємо вектор відповіді.

Рис.2. Розв’язок системи лінійних рівнянь в матричній формі