Методические указания

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) – непрерывная и дифференцируемая функция для всех значений аргумента.

Плотность распределения (или плотность вероятности) f(x) непрерывной случайной величины X в точке x характеризует плотность вероятности в окрестностях точки x и равна производной функции распределения этой СВ:

. (6.1)

График плотности распределения называется кривой распределения.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

. (6.2)

В геометрической интерпретации вероятность равна площади, ограниченной сверху кривой распределения f(x) и отрезком .

Соотношение (6.2) позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

(6.3)

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0. Причем f(x) = 0 для тех значений x, которые СВ никогда не принимает в опыте.

2. Условие нормировки:

(6.4)

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и для непрерывной СВ определяется по формуле

(6.5)

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и для непрерывной СВ определяется по формуле

. (6.6)

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому для анализа диапазона значений величины Х дисперсия не совсем удобна. Этого недостатка лишено среднее квадратическое отклонение (СКО), размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X характеризует ширину диапазона значений X и равно

. (6.7)

Правило . Практически все значения случайной величины находятся в интервале

. (6.8)

Примеры

Пример 6.1. Случайная величина X распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида

Определить константу с, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .

Решение. Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки (6.4). Условие нормировки представляет собой интегральное уравнение, из которого можно определить неизвестный параметр плотности вероятности. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки:

.

Из условия нормировки следует:

.

Плотность вероятности примет вид

Определим функцию распределения F(x). Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную - функцию распределения – будем искать по формуле (6.3) для каждого интервала в отдельности.

Для : ,

для : ,

для : .

Окончательно имеем

Вычислим вероятность по формуле (6.2):

.

Так как правый край интервала больше, чем , то .

Вычислим математическое ожидание СВ по формуле (6.5):

Дисперсию случайной величины СВ вычислим по формуле (6.6):

Пример 6.2. Определить по правилу диапазон возможных значений СВ X из примера 6.1.

Решение. Вычислим среднее квадратическое отклонение СВ по формуле (6.7):

Оценим диапазона значений X по формуле (6.8):

Как видим, получился интервал, полностью охватывающий точный диапазон значений СВ , который можно определить по свойству 1 плотности вероятности.