2.13. Функционалы
ФУНКЦИОНАЛ [functional] – переменная величина, заданная на множестве функций, т.е. зависящая от одной или нескольких функций. По другому определению – функция, аргументы которой также представляют собой функции некоторых переменных. Примерами Ф. являются площадь, ограниченная замкнутой кривой заданной длины, работа силового поля вдоль того или иного пути и т.д.
Функциона́л – числовая функция, заданная на векторном пространстве. Функционал берёт в качестве аргумента элемент линейного пространства (вектор) и возвращает в качестве результата скаляр. Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т.д. Поэтому, неформально говоря, функционал – это функция от функций, переводящая функцию в число.
Для
разбора понятия функционала рассмотрим
функциональное отображение
,
в котором множество
представляет собой некоторое множество
функций
,
а множество действительных чисел. Такое отображение называется функционалом. Функционал – это множество упорядоченных пар, первый элемент которых представляет собой некоторую функцию, а второй элемент – действительное число:
.
Пусть
дан некоторый класс
функций
.
Если каждой функции
по некоторому закону (правилу) поставлено
в соответствие определенное число
,
то говорят, что в классе
определен функционал
,
и пишут
.
Класс
функций
,
на котором определен функционал
,
называется областью задания функционала.
Пример 2.15.
Пусть
–
совокупность всех непрерывных функций
y(x), заданных
на отрезке [a,b],
и пусть
.
(1)
Тогда
есть
функционал от
:
каждой функции
отвечает определенное значение
. Этот функционал геометрически означает
площадь, ограниченную кривой
,
осью
и ординатами
,
.
Подставляя
в (1) вместо
конкретные функции, мы будем получать
соответствующие значения
.
Положим для определенности
,
:
;
Если
,
то
;
если
,
то
;
если
,
то
.
Пример 2.16
Пусть
– класс (совокупность) всех непрерывных
функций
,
обладающих непрерывной первой производной
на отрезке [a,b]. Тогда
(2)
будет
функционалом, определенным на этом
классе функций. Функционал (2) геометрически
выражает длину дуги кривой
с концами в точках
и
.
Например,
если
,
,
,
то
.
Если
(цепная линия, гиперболический косинус),
,
то
.
Пример 2.17
Пусть по прежнему, и пусть
.
Ясно,
что
есть функционал, определенный в указанном
классе функций: каждой функции из этого
класса ставится в соответствие
определенной число – значение производной
этой функции в фиксированной точке
.
Если,
например,
,
и
,
то для
имеем:
;
для
имеем:
;
для
имеем:
.
Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и т. п.), доставляющее экстремум (минимум, максимум) заданному функционалу.
2.14. Операторы
В информационных системах это правило, переводящее некоторый объект или систему из одного состояния в другое, элемент решения задачи. В качестве оператора, например, может выступать модель, реализующая некоторое преобразование над входными данными.
Рассмотрим
функциональное отображение
,
где
и
– множества функций:
,
.
В
этом случае отображение
называется оператором.
Оператор представляет собой множество упорядоченных пар, первый и второй элементы которых представляют собой функции.
Таким образом, под операторами понимают отображение, ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).
.
В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:
- префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:
;
- постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:
;
- инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:
;
- позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
- подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.
Примеры операторов
Оператор,
действующий над пространствами функций
– это правило, согласно которому одна
функция преобразуется в другую.
Преобразование функции
согласно правилу
в другую функцию
имеет вид
или, проще,
.
Примерами
подобных преобразований – умножение
на число:
,
дифференцирование
,
интегрирование
.
Соответствующие операторы называются
операторами умножения на число,
дифференцирования, интегрирования,
решения дифференциального уравнения
и т. д.
Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции в другую функцию y того же аргумента . Такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию одного аргумента в функцию другого аргумента, например:
.
Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции y, вообще говоря, в каждой точке зависит не только от , а от значений функции во всех точках .
Еще
в качестве примера оператора можно
привести операцию умножения вектора
длины
на матрицу размером
.
Этот оператор отображает
-мерное
пространство векторов в
-мерное.
Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным.