Параграф 1.3 Энергия свободных колебаний.
Колебания, рассмотренные в параграфе 1.2, принято называть свободными, т.к. они происходят в системе без воздействия внешних сил.
Внешнее влияние происходит лишь в начальный момент времени, когда система выводится из положения равновесия.
Рассмотрим полную энергию гармонических колебаний на примере пружинного маятника, координаты которого меняются по закону:
- полная энергия,
где Т – это кинетическая энергия
U –
потенциальная
энергия
Полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды.
Рассмотрим полную энергию затухающих колебаний пружинного маятника, координаты которого меняют не по закону.
При этом будем считать, что затухание слабое, т.е.
Т.к. затухание
слабое, то можно считать, что первый
сомножитель
практически
не меняется за время, в течение которого
второй сомножитель
меняется
очень сильно.
Тогда при вычислении производной можно считать амплитуду колебаний постоянной.
Добротностью осцелятора называется:
энергия, запасенная
осцелятором
энергия, теряемая за период.
Энергия, которую
теряет осцелятор за период, времени
будет
Зная добротность можно оценить: сколько колебаний совершит система, выведенная из равновесия.
Параграф 1.4.
Вынужденные колебания.
Анализ решения. Резонансные характеристики.
Рассмотрим систему:
если
это пружинный маятник, то уравнение
движение будет:
Рассмотрим самый важный случай, когда внешняя сила периодическая, тогда уравнение примет вид:
Для того чтобы решить это уравнение рассмотрим комплексное уравнение, реальная часть которого совпадает с нашим уравнением.
Решение уравнения будем искать в виде:
Таким образом,
найденное решение уравнения вынужденных
колебаний представляет собой гармонические
колебания, амплитуда которых определяется
параметрами осцелятора и частотой
вынуждающей
силы.
Другими словами полученное решение не зависит от начальных условий, а по этому является общим и единственным.
Это частное решение уравнения вынужденных колебаний.
Амплитуда колебаний зависит от параметров системы ( и )
и частоты - вынуждающей силы. Зависимость амплитуды от
называется амплитудно-частотной характеристикой системы.
- резонансная
зависимость, а частота
,
при которой амплитуда максимальна,
называется резонансной частотой.
Если
- говорят, что в системе наблюдается
резонанс амплитуд.
Для нахождения резонансной частоты.
Легко заметить, что достаточно приравнять к 0 производную от подкоренного выражения.
При увеличении затухания получится пунктирная зависимость.
Зависимость
фазового сдвига
от частоты
называется фазово-частотной характеристикой.
РИСУНОК
Если
----
Пунктирная линия соответствует большому затуханию.
Рассмотрим скорость вынужденных колебаний.
Полученная зависимость называется резонансом скоростей.
для определения
частоты, при которой
максимально, надо
приравнять к 0.
Полученное решение- уравнение вынужденных колебаний представляет собой гармоническое колебание, в параграфе 1.3 было показано, что энергия гармонических колебаний постоянна.
В параграфе 2.4 из первой части курса говорилось, что полная энергия системы сохраняется если сумма мощностей всех потенциальных сил будет равна 0. В нашей системе таких сил 2,
это сила трения и внешняя сила.
как известно
мощность
Пусть N – мощность внешней силы, тогда
- мощность внешней
силы.
Очевидно, что
среднее значение мощности вынуждающей
силы будет
Т.к. средняя мощность пропорциональна квадрату амплитуды то резонанс мощности будет происходить при той же частоте, что и резонанс скорости, т.е. при собственной частоте .
Осцелятор в котором
происходят вынужденные колебания
принято характеризовать полушириной
=>
резонансной кривой.
Которая определяется на уровне половины максимальной средней мощности.
Рассмотрим систему со слабым затуханием, тогда будет <<
т.к. при уменьшении затухания ширина резонансной кривой уменьшается. Тогда:
