Задача № 25.

Частица массой находится в основном состоянии в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите энергию частицы, если максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно .

Решение:

Частица находится в потенциальной яме, имеющей следующий вид:

Предположим, что сторона ямы равна .

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

или в виде:

(2)

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области частица находиться не может, поэтому её пси-функция вне области равна нулю. Используя условие непрерывности, получим:

Тогда пси-функция примет вид:

(4)

Найдём вторые производные от пси-функции по x и по y:

(5)

Подставим эти производные в уравнение Шредингера (2):

(6)

Учитывая, что , получим:

(7)

Мы получили энергетический спектр частицы, находящейся в квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Из выражения (7) видно, что энергия частицы зависит от двух квантовых чисел и . В таблице 1 приведены несколько возможных значений и и соответствующее им , которое определяет значение энергии.

Таблица 1.

№ уровня
1	1	1	2
2	1	2	5
	2	1
3	2	2	8

Основному состоянию соответствуют значения .

Определим константу A в выражении для пси-функции (4), используя условие нормировки:

(8)

Тогда пси-функции собственных состояний имеют вид:

(9)

В основном состоянии , поэтому пси-функция имеет вид:

(10)

Плотность вероятности – это квадрат модуля пси-функции:

(11)

Графический вид плотности вероятности местонахождения частицы в основном состоянии представлен на рисунке 1:

Рисунок 9

Максимальное значение, которое принимает функция синус, это единица (Как нетрудно убедиться, координаты максимума функции плотности вероятности равны ). Поэтому максимальное значение плотности вероятности:

(12)

Исходя из энергетического спектра частицы в квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (7) и учитывая выражение (12), можем найти значение энергии частицы в основном состоянии :

(13)

Ответ:

Задача № 26.

Частица массой находится в кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найдите длину ребра куба, если разность энергий 6-ого и 5-ого уровней равна . Чему равна кратность вырождения 6-ого и 5-ого уровней?

Решение:

Потенциальная яма имеет вид (рисунок 1):

Рисунок 10

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

или в виде:

(2)

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области частица находиться не может, значит, плотность вероятности, а значит, и пси-функция вне области равны нулю. Учитывая этот факт и условие непрерывности пси-функций, получим:

В этом случае пси-функция примет вид:

(4)

Найдём частные производные от выражения (4) по x, y и z:

и подставим их в уравнение Шредингера (2), получим:

(5)

Учитывая, что , получим:

(6)

Отсюда получим энергетический спектр частицы:

(7)

Энергия частицы зависит от трёх квантовых чисел . Составим таблицу (таблица 1), в которой рассмотрим несколько первых энергетических уровней (сумма квадратов трёх квантовых чисел определяет энергию частицы):

Таблица 1:

№ уровня
1	1	1	1	3
2	1	1	2	6
	1	2	1
	2	1	1
3	1	2	2	9
	2	1	2
	2	2	1
4	1	1	3	11
	1	3	1
	3	1	1
5	2	2	2	12
6	1	2	3	14
	1	3	2
	2	1	3
	2	3	1
	3	1	2
	3	2	1

Как видно из таблицы, может существовать несколько состояний частицы, описываемых различными пси-функциями, но в которых частица имеет одно и то же значение энергии. Такие энергетические уровни называются вырожденными, а число квантовых состояний, в которых частица имеет одно и тоже значение энергии называется кратностью вырождения. Значит, 5-ый энергетический уровень не вырожден, потому что существует только одно состояние, в котором частица имеет такое значение энергии, а 6-ой уровень имеет кратность вырождения 6. Определим разность энергий 6-ого и 5-ого уровней:

(8)

Отсюда найдём ребро куба:

(9)

Ответ:

5-ый уровень не вырожден, кратность вырождения 6-ого уровня равна 6.