Математический анализ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

§ 1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой

Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А и В, называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая — концом.

Направленный отрезок с началом А и концом В обозначается символом АВ. Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка АВ обозначается символом АВ, его длина — символом АВ . Если точки А и В совпадают, то определяемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом случае АВ = ВА = 0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределённым).

Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат.

Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число х, равное величине отрезка ОМ:

х = ОМ.

Точка О называется началом координат; её собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М (х) означает, что точка М имеет координату х.

Если M1 (x1) и М2(x2) — две произвольные точки прямой а, то формула

M1 M2 = x2 – x1

выражает величину отрезка формула M1 M2 выражает его длину.

2.Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям

1) |x| = 2; 2) |x—1| = 3; 3) |1— x|=2; 4) | 2+x| = 2.

3.Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

1) |x| >2; 2) х — 3 0; 3) 12— x<0; 4) 2x—3 0;

4.Определить величину АВ и длину | АВ | отрезка, заданного точками: 1) А(3) и В(11); 2) А

(5) и В (2); 3) А (—1) и В (3); 4) А (—5) и В (—3); 5) А (— 1) и В (—3); 6) А (— 7) и В (—5).

5.Вычислить координату точки Л, если известны:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

6. Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравенствам:

1) |x|<1; 2) |x|>2; 3) |x| 2; 4) |x| 3; 5) х — 2|<3; 6) |x — 5| l; 7) х— 1| 2; 8) |x—3 =1; 9) |x+1|<3; 10) |x+2|>1; 11) x+5| l; 12) |x+1| 2.

10.Определить координату х точки М, делящей отрезок M1M2, ограниченный данными точками M1(x1) и М2(х2) в данном отношении

11.Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками

M1(x1) и М2(х2) .

12.Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками, в

каждом из следующих случаев:

1)А(3) и В(5); 2) С(— 1) и D(5); 3) M1(— 1) и M2(—3);

4)Р1(—5) и Р1 (1); 5) Q1(3) и Q2(—4).

13.Определить координату точки М, если известны:

15.Отрезок, ограниченный точками A (—2) и 5(19), разделён на три равные части. Определить координаты точек деления.

16.Определить координаты концов A и B отрезка, который точками Р(—25) и Q(—9)

разделён на три равные части.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

§ 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси — координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, а вторая

— осью ординат.

Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс — символом Ох, ось ординат — символом Оу.

Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа

х = ОМx, у = ОМу

(черт. 1), где Мх и My суть проекции точки М на оси Ох и Оу, ОМХ обозначает величину отрезка ОМХ оси абсцисс, ОМу — величину отрезка ОМу оси ординат. Число х называется абсциссой точки М, число у называется ординатой этой же точки. Символ М (х; у) обозначает, что точка М имеет абсциссой

число х, а ординатой число у.

Ось Оу разделяет всю плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Ох, называется правой, другая — левой. Точно так же ось Ох разделяет плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Оу,

Черт. 1.

называется верхней, другая нижней.

Обе координатные оси вместе разделяют плоскость на четыре четверти, которые нумеруют по следующему правилу: первой координатной четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в верхней полуплоскости, второй

— лежащая в левой и в верхней полуплоскости, третьей — лежащая в левой и в нижней полуплоскости, четвёртой — лежащая в правой и в нижней полуплоскости.

17. Построить точки

23.Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы первого координатного угла точкам

1)A2; 3); 2) В(5; -2); 3) С(—3; 4).

24.Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы второго координатного угла точкам

1) А(3; 5); 2) В(—4; 3); 3) С(7; —2).

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

зываются числа = ОМ и = АОМ (черт. 2). Угол 6 при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным радиусом, число — второй координатой, или полярным углом точки М ( называют также амплитудой) *).

Символ М ( ; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .

Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида ± 2n , где п — целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам — < < + , называется главным.

Вслучаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при определении полярных углов считать положительными повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путём совместить её с положительной полуосью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т. е. ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчёт полярных углов должен быть обычным, т. е. положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

*) Здесь ОМ обозначает длину отрезка, понимаемую как в элементарной геометрии (т. е. абсолютно, без учёта знака). Употреблять более громоздкий символ | ОМ | в данном случае нет надобности, поскольку точки О и М рассматриваются как произвольные точки плоскости, а не как точки некоторой оси. Подобное упрощение символики в аналогичных случаях часто делается и дальше

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

х= cos ,

у= sin .

Вэтом же случае формулы

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

26. Построить точки, данные полярными координатами:

(для точек D, Е и F выполнить построение приближённо, пользуясь транспортиром).

27. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам

M1(3; 4 ), M2 (2;— 2 ), M3 (3;— 3 ),

M 4(1; 2) и Ms(5; —1),

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

заданным в полярной системе координат.

28. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам

заданным в полярной системе координат.

29. В полярной системе координат даны две вершины

параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма

30. В полярной системе координат даны точки А( 8; — 32 ) и B(6; 3 ). Вычислить полярные

координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В. 31. В полярной системе координат даны точки

Положительное направление полярной оси изменено на противоположное. Определить полярные координаты этих точек в новой системе.

32. В полярной системе координат даны точки

Полярная ось повёрнута так, что в новом положении она проходит через точку М1. Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе.

соединяющего точки M1 и М2.

34.В полярной системе координат даны точки M1( 1; 1) и М2 ( 2; 2). Вычислить расстояние d между ними.

35.В полярной системе координат даны точки M1(5; 4 ) и М2 (8; 12 ). Вычислить расстояние d

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

39. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки А( 1, 1) и В( 1,1). Вычислить площадь этого треугольника.

полярных координатах.

42. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки

M1(6; 2 ), M2 (5; 0), M3 (2; 4 ), M 4(10; 3 ), Ms(8; 32 ) и M6(12; 6 )

Определить декартовы координаты этих точек.

43. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат.

Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками

Прямолинейный отрезок называется направленным, если указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая — концом. Направленный отрезок, имеющий точку А своим началом и точку В концом (черт. 3), обозначается символом АВ (т. е. так же, как отрезок оси; см. § 1). Длина направленного отрезка АВ (при заданном масштабе)

обозначается символом | АВ| (или АВ; см. сноску на стр. 13).

Проекцией отрезка АВ на ось и называется число, равное величине отрезка A1В1 оси и, где точка A1 является проекцией на ось и точки А, а В1 — проекцией

Черт. 3. точки В.

Проекция отрезка АВ на ось и обозначается символом приАВ. Если на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, то проекция отрезка на ось Ох обозначается символом X, его проекция на ось Оу — символом Y.

Если известны координаты точек M1 (x1, у1) и М2(x2; у2), то проекции X и Y на оси координат направленного отрезка М1М2 могут быть вычислены по формулам

X = х2 — x1 Y = y2 — y1

Таким образом, чтобы найти проекции направленного отрезка на оси координат, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.

Угол , на который нужно повернуть положительную полуось Ох так, чтобы её направление совпало с направлением отрезка M1M2, называется полярным углом отрезка M1M2,

Угол понимается, как в тригонометрии. Соответственно этому имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину вида ± 2п (где п — целое положительное число). Главным значением полярного угла называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам — < .

Формулы

которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на оси координат.

Если на плоскости даны две точки M1 (х1, у1) и M2 (х2, у2), то расстояние d между ними определяется формулой

d= (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .

44.Вычислить проекцию отрезка на ось и, если даны его длина d и угол наклона к оси:

45. Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная их проекции на координатные оси:

1) Х = 3, Y = 2; 2) Х = 2, Y = — 5; 3) Х = — 5, Y = 0; 4) Х = — 2, Y = 3;

5) Х = 0, Y = 3; 6) Х = — 5, Y = — 1.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

46. Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку M(2; —1), зная их проекции на координатные оси:

а) Х = 4, Y = 3; б) Х = 2, Y = 0; в) Х = — 3, Y = 1; г) Х = — 4, Y = — 2;

д) Х = 0, Y = —3; е) X = 1, Y == —3.

47.Даны точки M1(1; —2), M1 (2; 1), M2 (5; 0), M3 (—1; 4) и M4(0; —3).

Найти проекции на координатные оси следующих отрезков:

1)M1M2, 2) M3M23)M4M5, 4) M5M3.

48.Даны проекции отрезка М1М2 на оси координат Х= 5, Y = — 4; зная, что его начало в точке

M1(—2; 3), найти координаты его конца.

49.Даны проекции отрезка АВ на оси координат Х= 4, Y = — 5; зная, что его конец в точке В(1; — 3), найти координаты его начала.

50.Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная длину d и полярный угол каждого из них:

51. Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М (2; 3), зная длину и полярный угол каждого из них:

(координаты точки М — декартовы).

52. Вычислить проекции на координатные оси отрезка, зная длину d и полярный угол каждого из них:

Вычислить длину и полярный угол следующих отрезков:

1)M1M2, 2) M1M3 3) M2M4, 4) M4M3.

56.Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на

ось ординат при условии, что он образует с осью ординат: а) острый угол, б) тупой угол.

57.Длина отрезка MN равна 13; его начало в точке М (3;—2), проекция на ось абсцисс равна — 12. Найти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат: а) острый угол, б) тупой угол.

58.Длина отрезка MN равна 17, его конец в точке N (—7; 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти координаты начала этого отрезка при условии, что он образует с осью абсцисс: а) острый угол, б) тупой угол.

59.Зная проекции отрезка на координатные оси Х = 1, Y = — 3 , найти его проекцию на ось,

которая составляет с осью Ох угол = — 23 .

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

62.Даны две точки М1(2; —2) и М2(7; —3). Найти проекцию отрезка М1М2 на ось, проходящую через точки А (5; — 4), В(— 7; 1) и направленную: 1) от А к В, 2) от В к А.

63.Даны точки А (0; 0), В(3; —4), С(—3; 4), D(— 2; 2) и E(10; —3). Определить расстояние d между точками: 1) А и В; 2) В и С; 3) А и С; 4) С и D; 5) А и D; 6) D и Е.

64.Даны две смежные вершины квадрата А(3; —7) и В(—1;4). Вычислить его площадь.

65.Даны две противоположные вершины квадрата Р(3; 5) и Q(l; —3). Вычислить его площадь.

66.Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть А(—3; 2) и В(1; 6).

67.Даны три вершины А(3; —7), В(5; —7), С(—2; 5) параллелограмма ABCD, четвёртая вершина которого D противоположна В. Определить длину диагоналей этого параллелограмма.

68.Сторона ромба равна 5 10 , две его противоположные вершины суть точки Р(4; 9) и Q(—2; 1). Вычислить площадь этого ромба.

69.Сторона ромба равна 5 2 , две его противоположные вершины суть точки Р(3; —4) и Q(l; 2). Вычислить длину высоты этого ромба.

70.Доказать, что точки A(3; —5), В(—2; —7) и С(18; 1) лежат на одной прямой.

71. Доказать, что треугольник с вершинами А1(1; 1), А2(2; 3) и А3(5; —1) прямоугольный.

72.Доказать, что точки А(2; 2), В(—1; 6), С(—5; 3) и D(—2; —1) являются вершинами квадрата.

73.Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами M1(1; 1), М2(0; 2) и M

3(2; —1) тупой угол.

74.Доказать, что все внутренние углы треугольника с вершинами М(—1; 3), N(1; 2) и Р(0; 4) острые.

75.Вершины треугольника суть точки А (5; 0), В(0; 1) и С(3; 3). Вычислить его внутренние углы.

77.На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние которой до точки N (2; —3) равнялось бы 5.

78.На оси ординат найти такую точку М, расстояние которой до точки N(—8; 13) равнялось бы 17.

79.Даны две точки М(2; 2) и N(5; —2); на оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол MPN был прямым.

80.Через точку А (4; 2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей. Определить её центр С и радиус R.

81.Через точку М1(1; —2) проведена окружность радиуса 5, касающаяся оси Ох. Определить центр С окружности.

82.Определить координаты точки М2, симметричной точке М1(1; 2) относительно прямой, проходящей через точки А(1; 0) и В(-1; -2).

83.Даны две противоположные вершины квадрата А (3; 0) и С(—4; 1). Найти две его другие вершины.

84.Даны две смежные вершины квадрата А(2; — 1) и В(— 1; 3). Определить две его другие вершины.

85.Даны вершины треугольника М1(—3; 6), М 2(9; —10) и М3(—5; 4). Определить центр С и радиус

R описанного около этого треугольника круга.