Теории прочности В общем случае опасное напряженное состояние элемента конструкции зависит от

Моменты инерции сечения

Добавил:

guap4736_vkclub152685050 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

формула Ясинского.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2019

Размер:

6.15 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru	40
абсолютное удлинение	1
внутренние силовые факторы при изгибе	14
временное сопротивление	2
вторая теория прочности	8, 15
геометрические характеристики плоских сечений	10
гибкость стержня	29
гипотеза о не надавливании продольных волокон	15
гипотеза плоских сечений	15
главные моменты инерции	11
главные напряжения	3
главные напряжения при поперечном изгибе	16
главные оси инерции	11
главные площадки	3
главные радиусы инерции	11
главные удлинения	6
главные центральные оси инерции	11
двутавр	10
депланация	14
деформация при объемном напряженном состоянии	6
диаграмма напряжений для пластичных материалов	2
диаграмма напряжений для хрупких материалов	2
дифференциальное уравнение изогнутой оси балки	17
дифференциальные зависимости между М, Q и q	16
дифференциальные зависимости при изгибе	18
допускаемое напряжение	2
единичная сила	25
единичный момент	25
жесткость при изгибе	15
жесткость сечения при кручении	13
жесткость стержня	1
закон Гука	1
закон Гука при изгибе	15
закон Гука при объемном напряжении	6
закон Гука при сдвиге	9
закон парности для объемного напряженного состояния	5
закон парности касательных напряжений	4
закон плоских сечений	13
изгиб	15
изгиб с кручением	22
инварианты напряженного состояния	7
интеграл Мора	25
интенсивность напряжений	5

канонические уравнения метода сил

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru	41
компоненты деформированного состояния	7
координаты центра тяжести	10
косой изгиб	20
коэффициент приведения длины	29
коэффициент продольного изгиба	30
коэффициент Пуассона	1
коэффициент уменьшения допускаемого напряжения	30
кривые брусья (стержни)	27
критическая нагрузка (сила)	29
круг Мора для объемного напряженного состояния	5
круг Мора для плоского напряженного состояния	4
круг Мора при чистом сдвиге	9
кручение	14
кручение бруса прямоугольного сечения	14
кручение круглого бруса (вала)	14
линейное напряженное состояние	2
максимальное касательное напряжение	4
метод Мора – определение перемещений	25
метод начальных параметров – определение перемещений	17
метод сил	27
механические характеристики	2
модуль объемной деформации	6
модуль сдвига	9
модуль упругости	1
модуль упругости 1-го рода	1
модуль упругости 2-го рода	9
модуль Юнга	1
момент инерции кольца	11
момент инерции круга	11
момент инерции относительно параллельных осей	11
момент инерции полукруга	11
момент инерции прямоугольника	11
момент инерции треугольника прямоугольного	11
момент инерции треугольника равнобедренного	11
момент инерции четверти круга	11
момент сопротивления	13
моментом инерции при кручении	14
моментом сопротивления при кручении	14
моменты инерции при повороте осей	12
моменты инерции сечения	10
напряжения на наклонной площадке	3
напряжения по октаэдрической площадке	5
нейтральный слой (ось, линия)	15, 20

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru	42
неплоский изгиб	20
неразрезные балки	18, 19
нормальные напряжения при чистом изгибе	15
обобщенная сила	24
обобщенное перемещение	24
обобщенный закон Гука	6
объемное напряженное состояние	5
октаэдрическая площадка	5
определение перемещений в балках при изгибе	17
осевой момент инерции сечения	10
осевой момент сопротивления	13
основная система	19
относительная деформация	1
относительная объемная деформация	6
относительная поперечная деформация	1
относительный сдвиг	9
относительный угол закручивания	13
первая теория прочности	8, 16
перемножение эпюр	25
плоский изгиб	15
плоское напряженное состояние	3
площадь	10
положение главных осей инерции	12
полярный момент инерции сечения	10
полярный момент сопротивления	13
поперечный изгиб	15
построение эпюр Q	16
построение эпюр М	16
потенциальная энергия деформации	6
потенциальная энергия при кручении	13
потенциальная энергия при сдвиге	9
предел прочности	2
предел текучести	2
приведенная длина	29
продольный изгиб	29
прямой изгиб	15
радиус инерции	12
радиус кривизны нейтрального слоя	15
раскрытие статической неопределимости балки	18
растяжение	1
расчет на прочность при изгибе	16
сдвиг	9

сжатие

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru	43
сложное сопротивление	20
сложный изгиб	20
собственный вес	1
способ Верещагина	25
способ сравнения перемещений	19
способ фиктивной нагрузки – определение перемещений	18
статически неопределимые балки	18
статически неопределимые системы	27
статический момент сечения	10
статический момент элемента площади	10
степень статической неопределимости балки	18
степень статической неопределимости системы	27
тензор деформаций	7
тензор напряжений	7
теорема Бетли	24
теорема Кастильяно	26
теорема Максвелла	24
теорема о взаимности перемещений	24
теорема о взаимности работ	24
теорема о трех моментах	19
теории предельных напряженных состояний	8
теории прочности	8
теория наибольших касательных напряжений	8
теория наибольших нормальных напряжений	8
теория наибольших относительных деформаций	8
теория прочности Мора	8, 16
теория прочности Мора	8, 16
третья теория прочности	8, 16
угол закручивания	14
угол сдвига	9
уголок	11
удельная потенциальная энергия	6
удельная потенциальная энергия при сдвиге	9
удельное перемещение	24
уравнение изогнутой оси балки	17
уравнение прогибов.	17
уравнение совместности перемещений	19
уравнение трех моментов	19
уравнение углов поворота	17
условие жесткости при кручении	13
условие прочности при кручении	13
условие прочности при растяжении	1

устойчивость сжатых стержней

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru	44
учет собственного веса	1
фиктивная балка	18
фиктивная нагрузка	18
формула Журавского	15
формула Мора	25
формула Навье	15
формула Эйлера	29
формула Ясинского	29
центр тяжести	10
центробежный момент инерции сечения	10
четвертая теория прочности	8, 16
чистый изгиб	15
чистый сдвиг	9
швеллер	11
эллипс инерции	12
энергетическая теория прочности	8
ядро сечения	22

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

Нормальное напряжение:

; относительная деформация

; Закон Гука:

N L

;

= Е ;

; абсолют. удлинение

; относит. поперечная

E F

N(z)

деформация

; коэфф.Пуассона

; удлинение стержня

dz ;

F(z)

P L

работа при растяжении

; потенциальная энергия

U A

P L

; учет

2 E

P L

собств. веса стержня: N(z) = P + F L;

max

L ;

; условие

2 E

прочности при растяж.-сж:

max [ ];

[ ]

– допуск. напр.; линейное напряженное

состояние: полное напр.:

cos cos

; нормальное:

;

cos

касательное:

sin 2 ; на перпендикулярных площадках

sin 2

;

sin 2 ;

= — ; главные напряжения: 1> 2> 3; на наклонной площадке:

xz sin2

;

sin 2 xz cos2

или

x cos

z sin

cos2 xz

sin 2

; закон парности касательных напр. xz= — zx;

sin 2 ;

;

cos2

;

1 cos

2 sin

1 sin

2 cos

;

sin2

;

+ = 1+ 2; макс. касательное

напряжение

max

; главные напр-ния

max

( x

z )

4 xz

min

положение главных площадок

tg2 0

2 xz

;

tg 0

2 xz

;

объемное напряженное состояние:

cos2

;

1 3 ;

2 cos2

;макс.касат.напр.

max

напряжения по октаэдрической площадке окт

1 2

3 ;

окт

(

)2 (

)2 ;

окт

;

интенсивность напряжений

окт

(

)

2 (

)2 (

)2 ;

;

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

																							http//:www.svkspb.nm.ru																			2
первый инвариант: x+ y+ z= 1+ 2+ 3;																													обобщенный закон Гука:
1			1		[ 1 ( 2							3 )];						2	1	[ 2				( 3					1 )];			3	1	[ 3	( 1 2 )] ;
1					[ 1 ( 2							3 )];						2	E	[ 2				( 3					1 )];			3		[ 3	( 1 2 )] ;
		E																	E						V								E		1 2
относит. объемная деформация																									V			1 2				3	;		1 2				( 1 2			3 ) ;
относит. объемная деформация																									V			1 2				3	;			E			( 1 2			3 ) ;
																									V											E
																														1		2					ср
среднее напряжение																ср			1			2				3		;					3 ср				ср	; модуль объемной
																			1			2				3
																					3											E				К
																					3											E				К
деформации: К=																E		; потенц.энергия U=													P L		; удельная потенциальная энергия
деформации: К=																		; потенц.энергия U=															; удельная потенциальная энергия
												3(1 2 )																				2
			U						;									2		1 1							2 2					3 3
u =			U									u						; u									2 2					3 3		;
u =	F L											u						; u																;
	F L								2								2E				2								2			2
u			1					2		2					2		2 ( 1 2				1 3						2 3 )] ;					u = uо + uф; энергия из-за изменения
u		2E				[ 1			2		3						2 ( 1 2				1 3						2 3 )] ;					u = uо + uф; энергия из-за изменения
		2E								1 2
объема:								uo		1 2					( 1			2	3 )				2		; энергия из-за изменения формы:
																							2
										6		E
										6		E
uф				1						2		2					2				1 3						2 3 )] ; тензор напряжений:
uф				3			E		[ 1 2						3 1 2						1 3						2 3 )] ; тензор напряжений:
				3			E
								x		yx			zx																										0	0
								x		yx			zx																									1
TH					xy				y			zy					;	тензор для главных напряжений: TH																				0	2	0



																																					0		0
																																					0		0
							xz			yz				z																											3
							xz			yz				z																											3

Инварианты напряженного состояния:

J1= x + y + z; J2= x y + y z + y z — 2xy — 2zx — 2yz; J3= x y z — x 2yz — y 2zx — z 2xy + 2 xy zx yz.

Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского сост.:

		2			2				2			2
1		2	1		2	cos2 ;	1		2	1		2	cos2 ;
	2			2		cos2 ;		2			2		cos2 ;
	2			2				2			2

		2					2
1		2	sin2 ;		1		2	sin2 ; Инварианты деформированного состояния:
	2		sin2 ;	2		2		sin2 ; Инварианты деформированного состояния:
	2			2		2

J1= x + y + z;	J2= x y + y z + z x —							1	2xy				—		1	2yz —	1	2zx;
J1= x + y + z;	J2= x y + y z + z x —							4	2xy				—		4	2yz —	4	2zx;
								4							4		4
						1			1
				x		2	yx		2			zx							0
				x			yx					zx						0
																		0
																	1
		1							1

тензор деформаций: J3			xy			y				zy				;		Tд	0	2	0		.
тензор деформаций: J3			xy			y				zy				;		Tд	0	2	0		.
		2							2
		2							2								0	0
		1				1											0	0		3
		1				1														3

		2			xz	2	yz				z
		2				2

1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений): max= 1 [ ]. 2-ая теор. прочности (теория наибольших относительных деформаций): max= 1 [ ].

1= E1 [ 1 ( 2 3 )], условие прочности эквII= 1 — ( 2 + 3) [ ].

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

3-я теор. проч. (теория наибольших касательных напряжений): max														[ ],	max=	1		3	,
																1		3
																	2
																	2
условие прочности: эквIII= 1 — 3 [ ],						эквIII=								[ ]. При y=0
условие прочности: эквIII= 1 — 3 [ ],						эквIII=			(	z		y	)2 4 2	[ ]. При y=0
										z		y	zy

	эквIII	2 4 2	[ ]. 4-я теор. прочности (энергетическая теория):
	эквIII
uф [uф].		эквIV	0,5 [( 1 2 )	2	( 1 3 )		2	( 2 3 )			2		[ ] . Для плоского напряж.
uф [uф].		эквIV	0,5 [( 1 2 )		( 1 3 )			( 2 3 )					[ ] . Для плоского напряж.

сост.:		(	z y	)2	3(	z y	)2 3 2
	эквIV
		2				2	zy

[ ]. y=0,

	2	3	2
	2		2
эквIV

[ ]

Теория прочности Мора: эквМ 1

[

]

, когда допускаемые напряжения на

[

]

растяжение [ p] и сжатие [ с] не одинаковы (чугун).

Чистый сдвиг.

; угол сдвига

. Закон Гука при сдвиге: = /G;

= G ;

модуль сдвига (модуль второго рода): G

; потенциальная энергия при сдвиге

2(1 )

U	Q	Q2a	; удельная потенц. энергия: u	U	Q2a	; объем V=а F; u	2
				V	2GFaF			;
	2	2GF					2G

Геометрические характеристики сечений: площадь

dF ; статический момент

относительно оси x или y:

Sx ydF;

xdF ; координаты центра тяжести:

F x

F y

x C

; yC

; Sx Fi yi ; Sy Fi xi

;

x C

i 1

; yC

i 1

;

i 1

Осевой момент инерции: J x y

dF ;

J y

dF ; полярный момент инер.:

Jy + Jx = Jp; центробежный момент инерции:

J xy xydF. Прямоугольник:

;

Jy	hb3		r 4	d4	r 4	d4
		; Jxy=0. Круг: Jp		; J x J y		;	J xy 0. Четверть круга:
	12
			2	32	4	64
Jy=Jx=0,055R4; Jxy= 0,0165R4; Jx0=0,0714R4; Jy0=0,0384R4. Моменты инерции
относительно параллельных осей: Jx1=Jx + a2F; Jy1=Jy + b2F;							Jy1x1=Jyx + abF. Моменты

инерции при повороте осей: Jx1=Jxcos2 + Jysin2 — Jxysin2 ; Jy1=Jycos2 + Jxsin2 +

Jxysin2 ; Jx1y1=	1	(Jx — Jy)sin2 + Jxycos2 ; Jy1	+ Jx1= Jy + Jx. Угол, определяющий
	2

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

положение главных осей:

		J
инерц.:	Jmax	x
инерц.:	Jmax
	min

Радиус инерции:

J	y	1	(J		J		)	2
	y							2
2		2		y		x
				y		x

i		J	x	; i		J y
			x
	x	F			y	F
		F				F

4 J2 ; xy

; Jx=F ix2,

Jmax+Jmin=Jx+Jy.

Jy=F iy2. Осевой момент сопротивления:

W	J	x
W

x	y
	y
	max

; для прямоугольника:

	J		bh	2
W	J	x	bh	;
W				;

x	h / 2		6
	h / 2		6

	J
	y
	b / 2
	b / 2

b	2	h

6

; для круга:

R 3

Wx=Wy=

; трубчатое сечение (кольцо): Wx=Wy=

)

d H / 2

	J		p			R	3
							3
= dН/dB. Полярный момент сопротивления: Wp				;	для круга:Wр=		.
		max				2
		max

;

Кручение.

закручивания:

M		M		,
	k		k

J	p	W
			p

L GJp

Wp	J	p	. Угол закручивания:	M L
		p		k		; относит.
				k
	R			GJ
	R			GJ
					p
. Потенциальная энергия при кручении:							U	1	M
. Потенциальная энергия при кручении:							U	2	M
								2

угол

	M	2	L
	M	k	L


k	2GJ
	2GJ			p
				p

;

Условие прочности: max Mk [ ];

[ ] =

пр ед [n]

; условие жесткости: mкax [ ]. Кручение

бруса прямоугольного сеч.:

max

Mk Wk

;

M	L
k
GJ
	k

; Wk= hb2; Jk= hb3; = max.

Изгиб.

M	ydF; Q ydF;
F	F

. Нормальные напряжения:

E y

. Закон

Гука при изгибе:	1	M		, формула Навье:	M y		. Максимальные напряжения:
		E J			J
			x			x

max

M y

max

, Jx/ymax=Wx—момент сопротивления сечения при изгибе, max

Касательные напряжения – формула Журавского:

Q S

(y)

. Для прямоугольного

b(y) J

сечения:

, F=b h, для круглого сечения:

, F= R2, для любого

max

2 F

3 F

сечения: max k QF . Главные напряжения при поперечном изгибе:

		1
max		1	2 4 2 .
			2 4 2 .
	2 2
min	2 2

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

Условие прочности по нормальным напряжениям max	M	[ ], условие прочности
	max
	W
	W
	x

по касательным напряжениям	Q	max	S		max	[ ] . Wx	M	max

		b J					[ ]
				x

Условия прочности по различным теориям прочн.: I-я: эквI					1	[	2	4	2	] [ ];

					2

II-я: эквII 0,35 0,65[	2	4	2	] [ ] (при коэфф.Пуассона =0,3);

III-я: эквIII		2	4	2		] [ ], IV-я: эквIV

теория Мора:					1 m			1 m	2
	эквM
						2	2

2 3 2 ]

4 2 ] [ ],

d	2	y

[ ] m

[ P [ C

] ]

Закон Гука при изгибе:

1(x)

M(x)

E J x

1	dx
		2
		dy
	[1 (	dy	)	2	]	3
				2		3
		dx
		dx

M(x)

— дифференциальное

уравнение изогнутой оси балки.

	d	2	y
изогнутой оси балки: EJ
	dx		2

Приближенное дифференциальное уравнение

M(x) .	dy	1	M(x)dx C — уравнение углов
	dx	EJ

поворота, y

M(x)dxdx Cx D — уравнение прогибов. Метод начальных

параметров.

(x a)

EJ y

= M(x) = RA x – q

– M(x – a)

+ q

– P(x – a – b);

интегрируем:

(x a)

(x a b)

EJ y

= EJ 0

+ RA

– q

– M(x – a) + q

– P

;

EJy =EJy0 + EJ 0x + RA x 3

–

x	4

24

– M

(x a)	2
(x a)
2

+ q (x a)4 24

– P

(x a b)	3
(x a b)
6

Дифференциальные зависимости при изгибе:

dM(x) dx

Q(x)

; dQ(x) q(x) ; dx

d2 y

M(x) ;

. Определение перемещений способом фиктивной нагрузки.

dx2

dy ;

dMф Q

y Mф ;

Qф . Теорема о трех моментах:

q ;

M ;

n 1

2 M

n 1

) M

n 1

6 ( n a n n 1bn 1 ) .

Ln 1

Косой изгиб. Напряжение в произв. точке с координатами "x,y":

M x y

M y x

;

J x

J y

, Mx=M cos ; My=M sin , M(

y cos

x sin

) . Уравнение нейтр. линии:

J x

J y

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

0 , или

cos

sin

.Угол наклона нейтральной линии к

главной оси "х": tg

M y

tg . Наиб. напр.

x 0

M x

J y

max

M y

[ ] ,

Wx=Jx/ymax; Wy=Jy/xmax. Прогиб "f": EJ

d2 w

; EJ

d2 v

, f

v2 w 2 .

dz2

y dz2

Внецентренное сжатие–растяжение. Нормальное напряжение в произвольной точке:

	N	M y	x	M	x	y ; N>0 – если сила растягивающая, Mx, My>0, если моменты

	F	J y		J x
"растягивают" сеч. в I-ой четверти. Внутренние усилия: N=P; My=P xp; Mx=P yp.

x p F

yp F

x p

y) , ix,y

J x,y

Напряжения:

y) или

Уравнение нейтр. линии: 1

x p

y 0 . Отрезки, отсекаемые нейтр. линией на осях

i2y

i2x

i2y

коорд.: x

; y

;

– координаты контура ядра.

x P

x H

Изгиб с кручением. Макс. нормальные и касательные напряжения в опасных точках:

M2x M2y

M кр

, (для круга: W=

R 3

–осевой момент

max

Wр

сопротивления, Wр=

–полярный момент сопротивления сечения). Главные

напряжения в опасных точках: 1 12 ( 2 4 2 ); 2 0; 1 12 ( 2 4 2 ).

Проверка прочности: по IV-ой теории прочности:	эквIV		2 3 2	[ ];
	эквIV

теория Мора: эквM

1 m

[ ]; m=[ p]/[ c].

1 m

[

M2 ] [ ];

эквM

кр

эквIV

0,75M2 M2 M

2 [ ].

кр

1 m

Приведенный момент: M

прM

];

кр

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

I-ая теория:

http//:www.svkspb.nm.ru

[

];

прI

кр

II-ая:

III-я:

прII

0,35

0,65 M2

, при коэффициент Пуассона =0,3;

кр

MпрIII

MпрIV

0,75M

;

Mкр Mx My ; IV-ая:

кр Mx M y

кр M

				M
				пр
		экв		W
		экв

[ ]

момент сопротивления:

		M
	W	пр
	W	[ ]
		[ ]

, диаметр вала:

d 3	32M	пр

	[ ]

Перемещение, вызванное несколькими силовыми факторами: Р= РP+ РQ+ РM. Перемещение вызванное силой Р, будет: Р=Р Р. Работа внешних сил, действующих на

упругую систему:

P		P	2
P			2
A Pd P PPdP	PP
	PP

	0	2

	A	P
	A	2
		2

– работа при статическом

действии обобщенной силы на упругую систему.

Работа внутренних сил (сил упругости) в случае плоского изгиба:

. Потенциальная энергия U=A.

2EJ

2EF

2GF

Теорема о взаимности работ (теорема Бетли): А12=А21, Р1 12=Р2 21.

11– перемещение по направлению силы Р1	от действия силы Р1;
12– перемещение по направлению силы Р1	от действия силы Р2;
21– перемещение по направлению силы Р2	от действия силы Р1;
22– перемещение по направлению силы Р2	от действия силы Р2.

А12=Р1 12 – работа силы Р1 первого состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р2 второго состояния. Аналогично: А21=Р2 21 – работа силы Р2 второго состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р1 первого состояния..

Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла) Если Р1=1 и Р2=1, то Р1 12=Р2 21, т.е. 12= 21, в общем случае mn= nm. Обобщенное перемещение (формула

или интеграл Мора):

x M x dx

y M y dx

кр Mкрdx

mn [

EJ x

EJ y

GJk

x Qx dx

yQydx

L N

k x

k y

]

L M

L N

L Q

L M

Для плоской системы: mn [

]. mn

Вычисление интегр. Мора способом Верещагина.

i Mp dz yC .

yC .

Перемножение эпюр, имеющих вид трапеций: yC

При действии равномерно распределенной нагрузки на шарнирно опертую балку эпюра строится в виде

L6 (2ac 2bd ad bc) .

11Х1+ 12Х2+…+ 1nХn+ 1p=021Х1+ 22Х2+…+ 2nХn+ 2p=0

. . . . . . . . . . . .

n1Х1+ n2Х2+…+ nnХn+ np=0

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru


выпуклой квадратичной параболы, площадь		2hL		, h		qL2	, т.е.			2			qL2		L		qL3		,
	3
					8			3				8			12
хС=L/2. Для "глухой" заделки при равномерно распределенной нагрузке имеем
			hL				2					2			3
вогнутую квадратичную параболу, для которой					; h qL			,	1		qL			L		qL		,

	3						2	3				2			6

хС=3L/4.

Теорема Кастильяно:	P	U	,	U
		P

Канонические уравнения метода сил

L	2	dx
	M	dx
	2EJ
0	2EJ
0

		M(s)ds
		EJ
	S

M(s)P

M M	p	ds
1	p
EJ

;

M	M	p	ds
2		p
	EJ

; ….;

M	M	p	ds
n		p
	EJ

;

	L	M M ds				L	M M ds				L	M M ds
11		M M ds		;	22		M M ds		; ….;	nn		M M ds		;
11					22					nn
		1	1				2	2				n	n
		1	1				2	2				n	n
	0	EJ				0		EJ			0		EJ
	0					0					0

	L	M M ds				L	M	M ds
12		M M ds			13		M	M ds		; ….;
12					13
		1		2	;		1		3
		1		2			1		3
	0		EJ			0	EJ
	0					0

коэффициенты находят по способу Верещагина:







L
	M

0
P	y

EJ

iMk EJ

Cp	;

ds	,
	,
			y
		1		C1
		1		C1
11		EJ
		EJ

и т.д.

При чистом изгибе кривых брусьев большой кривизны:	M y		;	rН		F	–
При чистом изгибе кривых брусьев большой кривизны:	eF(r	y)	;	rН		dF	–
	eF(r	y)				dF
	н
	н
					F
					F

радиус нейтр. слоя Для прямоугольного сеч. высотой h, с наружным радиусом R2 и

внутренним R1: rН

. При h/R<1/2

e Jx

. При наличии N:

M y

eF(rн y)

Условие прочности: max

M y

[ ] ,

y= – h2

или y= h1.

eF(r y)

Продольный изгиб. Устойчивость. Формула Эйлера: P

2 EJ

min – для стержня с

кр

шарнирно закрепленными концами. При различных закреплениях: Pкр

min

– коэффициент приведения длины. При шарнирном закреплении обоих концов стержня = 1; для стержня с заделанными концами = 0,5; для стержня с одним заделанным и другим свободным концом = 2; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом = 0,7.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

Критическое сжимающее напряжение.:

Pкр

2 E

– гибкость стержня,

кр

imin

Jmin

– наименьший главный радиус инерции. Формула Эйлера применима при

min

гибкости стержня: кр

. Для 0< < кр используется формула Ясинского:

пц

кр= a — b , где 0, при котором кр= т, a,b – опытные данные, для стали Ст3:

40 < < 100.

Условие устойчивости:

		P
		F
		F
		брутто

[ у

]

;

[ у]= кр/nу; [ у]= [ ].

F		P

брутто		[ ]

–

площадь брутто поперечного сечения, т.е. без учета его ослаблений.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru	45
Оглавление
Растяжение и сжатие	1
Учет собственного веса стержня	1
Основные механические характеристики материалов	2
Линейное напряженное состояние	2
Напряженное и деформированное состояние	3
Плоское напряженное состояние	3
Закон парности касательных напряжений	4
Круг Мора	4
Объемное напряженное состояние	5
Круг Мора для объемного напряженного состояния	5
Напряжение по октаэдрической площадке	5
Деформации при объемном напряженном состоянии	6
Потенциальная энергия деформации	6
Тензоры напряжений и деформаций	7
Теории прочности	8
Чистый сдвиг	9
Геометрические характеристики плоских сечений	10
Статический момент	10
Координаты центра тяжести	10
Моменты инерции сечения	10
Моменты инерции сечений простой формы	11
Главные моменты инерции	12
Моменты сопротивления	13
Кручение	14
Изгиб	15
Определение перемещений в балках при изгибе	16
Метод начальных параметров	17
Определение перемещений способом фиктивной нагрузки	18
Статически неопределимые балки	18

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru	46
Сложное сопротивление	20
Косой изгиб	20
Изгиб с растяжением – сжатием (внецентренное сж.-раст.)	21
Изгиб с кручением	22
Общие методы определения перемещений	24
Теорема о взаимности работ и перемещений	24
Интеграл Мора, способ Верещагина	25
Статически неопределимые системы	27
Канонические уравнения метода сил	27
Расчет плоских кривых брусьев (стержней)	28
Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб	29
Формулы	31
Алфавитный указатель	40

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru			1
Растяжение и сжатие
	N	N = F
	F

— нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м2, 106Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм2

N — продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F — площадь сечения [м2]

		L
		L
		L

— относительная деформация [безразмерная величина];

L — продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L — длина стержня [м].

— закон Гука — = Е

Е — модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа]. Для стали Е= 2 105МПа = 2 106 кг/см2 (в "старой" системе единиц). (чем больше Е, тем менее растяжимый материал)

N	;	L	N L	— закон Гука
EF			E F

EF — жесткость стержня при растяжении (сжатии).

При растяжении стержня он "утоньшается", его ширина — а уменьшается на поперечную деформацию — а.

	I			a	— относительная поперечная деформация.
	I
				a


		I
			— коэффициент Пуассона [безразмерная величина];



лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (каучук); для стали						0,25 0,3.

Если продольная сила и поперечное сечение не постоянны, то удлинение стержня:

N(z)

E F(z)

Работа при растяжении: A

P L

, потенциальная энергия:

U A

P2L

2 E F

Учет собственного веса стержня

Продольная сила N(z) = P + F L;

Р — сила, действующая на стержень, — удельный вес, F — площадь сечения.

Максимальное напряжение:

L .

Деформация:

P L

max

E F

2 E

Условие прочности при растяжении (сжатии)

max [ ],

[ ] — допускаемое напряжение на растяжение (сжатие).

У чугуна [ раст] [ сж], у стали и др. пластичных материалов [ раст]=[ сж].

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

Основные механические характеристики материалов

(P)




т		B

	п

диаграмма напряжений (растяжения) для пластичных материалов (например, малоуглеродистая сталь)

( L)

диаграмма напряжений для хрупких материалов (например, чугун)

п— предел пропорциональности, т— предел текучести, В— предел прочности или временное сопротивление, к— напряжение в момент разрыва.

Хрупкие материалы, напр., чугун разрушаются при незначительных удлинениях и не имеют площадки текучести, лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению.

Линейное напряженное состояние напряжения по наклонной площадке:

запаса

n = 3.

	P

полное :p

cos cos

sin 2

нормальное:

cos

, касательное:

F — площадь наклонной площадки.

Нормальные напряжения положительны, если они растягивающие; касательные напряжения положительны, если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент (нижняя часть) по часовой стрелке ( на рис. все положительно). Наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкам перпендикулярным к оси стержня

( =0, cos =1, max = )

На перпендикулярных площадках: = — (90 — )


sin 2	;		sin 2	, т.е.	= — .
		2

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, составляющим угол 45о к оси стержня ( =45о, sin2 =1, max = /2)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

Напряженное и деформированное состояние Различают три вида напряженного состояния:

1)линейное напряженное состояние — растяжение (сжатие) в одном направлении;

2)плоское напряженное состояние — растяжение (сжатие) по двум направлениям;

3)объемное напряженное состояние — растяжение (сжатие) по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассматривают бесконечно малый параллелепипед (кубик). На его гранях могут

быть нормальные и касательные напряжения. При изменении положения "кубика" напряжения меняются. Можно найти такое положение, при котором нет касательных напряжений см. рис.


				1
1		1

				3

					2
		2
			2
	2

				3

				1
1		1
линейное		плоское		объемное
	напряженное состояние

Площадки, по которым не действуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих

площадках		—	главными
напряжениями.
Главные	напряжения		обозначают:
1, 2, 3	и	1> 2> 3

					Плоское напряженное состояние
		z				z		Разрежем элементарный параллелепипед
								(рис.а)	наклонным		сечением.

	z
								Изображаем	только одну		плоскость.
		zx						Изображаем	только одну		плоскость.
		zx
								Рассматриваем		элементарную
		xz						Рассматриваем		элементарную
				x				треугольную призму (рис.б). Положение
x			x	x				треугольную призму (рис.б). Положение
x

				xz			x	наклонной	площадки	определяется
xz				xz			x	наклонной	площадки	определяется
		x
								углом . Если поворот от оси x против
								час.стр. (см. рис.б), то >0.
	zx
					zx	z
		z				z
		z
	а)					б)		Нормальные напряжения имеют индекс,
	а)							соответствующий оси их направления.
								соответствующий оси их направления.
								Касательные	напряжения,		обычно,

имеют два индекса: первый соответствует направлению нормали к площадке, второй — направлению самого напряжения (к сожалению, встречаются и другие обозначения, и другой выбор осей координат, что приводит к изменению знаков в некоторых формулах).

Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, касательное напряжение положительно, если оно стремится повернуть рассматриваемую часть элемента относительно внутренней точки по час.стр (для касательного напряжения в

некоторых учебниках и вузах принято обратное).
Напряжения на наклонной площадке:
				x z
2			2	x z	sin 2 xz cos2
x cos		z sin xz sin2		2	sin 2 xz cos2
				2
или	x	z	x z cos2 xz sin 2
		2	2

vk.com/club152685050 \| vk.com/id446425943
									http//:www.svkspb.nm.ru																																			4
Закон парности касательных напряжений: если по площадке действует касательное
напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать
касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку. ( xz= —
zx)
В теории напряженного состояния различают две основные задачи.
Прямая задача. По известным главным напряжениям:																										1= max, 2= min																требуется
определить для площадки, наклоненной под заданным углом																																		( )						к			главным
площадкам, нормальные и касательные напряжения:
													2									2
													2									2											1					2		sin2
											cos								2	sin																				sin2
										1									2																	2
		1																																		2
		1
																	2							2
							или					1					2				1			2	cos2					.

														2								2



							Для перпендикулярной площадки:



2
												2										2																		2
											sin	2							cos			2												1						2	sin2			.
						2					sin							2	cos																						sin2
										1								2																			2
																																					2
							Откуда видно, что + = 1+ 2 — сумма нормальных
							напряжений							по					двум					взаимно								перпендикулярным
							площадкам инварианта (независима) по отношению к
		1

							наклону этих площадок.
Как и в линейном напряженном состоянии максимальные касательные напряжения
имеют место при				= 45о, т.е.					по площадкам,											наклоненным к главным площадкам
								2
под углом 45	о		max			1		2	.
	о
							2


Обратная задача. По известным нормальным и касательным напряжениям,
действующим в двух взаимно перпендикулярных площадках, найти главные (max и
min) напряжения и положение главных площадок.
																				x			z			1	(								)		2			4			2
z													max							x			z														2						2
																					2					2			x					z									xz
																													x					z									xz
z													min
													min
									(касательные									напряжения									по				главным									площадкам
	zx			max					(касательные									напряжения									по				главным									площадкам
	zx			max
									равны 0).
				0	xz				Угол					0,				определяющий													положение												главных
				0	xz																													2
																																		2
							x		площадок:																tg2												xz							или
							x																		tg2			0
						x																						0
						x																												x					z
																																		x					z
					min				tg 0						2 xz						.
					min				tg 0					1		z					.
														1		z
									Если одно из главных напряжений окажется
отрицательным, то их надо обозначать 1,															3, если оба отрицательны, то																									2, 3.
									Круг Мора (круг напряжений). Координаты точек
				D					круга соответствуют нормальным и касательным
				2					напряжениям													на				различных														площадках.
0				2
0		C
2							1
							1
2				1
2

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

Откладываем от оси из центра С луч под углом 2 ( >0, то против час.стр.), находим точку D,

координаты которой: , . Можно графически решать как прямую, так и обратную задачи.

vk.com/club152685050 \| vk.com/id446425943
						http//:www.svkspb.nm.ru																		5
z								Объемное напряженное состояние

	z			Напряжения в любой площадке при известных главных
				Напряжения в любой площадке при известных главных
				напряжениях 1, 2, 3:
	zy
zx
								2					2			2
					1 cos					1 2 cos				2 3 cos 3					;
yz		xy
		xy
				x
x				x

	yx						2			2		2		2	2		2
							1 cos				1 2 cos 2				3 cos			3		,
		xz
			x
y			x			1,		2,			3
				где		1,		2,			3	— углы между нормалью к
y	z			рассматриваемой площадке и направлениями главных
				напряжений.
																							3
				Наибольшее касательное напряжение:													max				1		3	.
																						2


Оно действует по площадке параллельной главному напряжению																2			и наклоненной
под углом 45о к главным напряжениям 1											и 3.
		=			Круг Мора для объемного напряженного состояния.
		=
	13		max		Точки, являющиеся вершинами кругов соответствуют
					Точки, являющиеся вершинами кругов соответствуют
					диагональным площадкам, наклоненным под 45о к
			12
0
0					главным напряжениям: max 13														1		3
	23																		1		3
																				2
																				2

3							1		2 ,					2	3
							1		2 ,				23	2	3	(иногда					называют
2					12					2			23		2
2										2					2
					главными касательными напряжениями).
		1

Плоское напряженное состояние — частный случай объемного и тоже может быть представлено тремя кругами Мора, при этом одно из главных напряжений должно быть равно 0. Для касательных напряжений также, как и при плоском напряженном состоянии, действует закон парности: составляющие касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны по величине и обратны по направлению.

III		Напряжения по октаэдрической площадке.
	окт	Октаэдрическая площадка (АВС) – площадка,
	3	равнонаклоненная ко всем главным направлениям.
B	3	равнонаклоненная ко всем главным направлениям.

								2		3
					окт	1		2		3	;
							3
			1
			1


1	окт			Октаэдрическое	нормальное				напряжение			равно
			I
		C	I	среднему из трех главных напряжений.
		C
	2

	A
II
II	3

		1
окт		1	(	2	)2	(	2	3	)2	(	3	)2
			(		)2	(			)2	(		)2
	3		1									1
	3

		2
или	окт	2	122	232	132	,	Октаэдрическое
или	окт	3	122	232	132	,	Октаэдрическое
		3

касательное напряжение пропорционально геометрической сумме главных касательных напряжений. Интенсивность напряжений:

vk.com/club152685050 \| vk.com/id446425943
														http//:www.svkspb.nm.ru																							6
					i			3				окт		2	( 1	2 )			2	( 2 3 )					2	( 3			1 )			2		.
																			2						2							2
									2					2
									2					2
x+ y+ z= 1+ 2+ 3 — сумма нормальных напряжений, действующих по любым
трем взаимно перпендикулярным площадкам есть постоянная величина, равная
сумме главных напряжений (первый инвариант).
						Деформации при объемном напряженном состоянии.
Обобщенный закон Гука (закон Гука при объемном напряжении):
													1, 2, 3		— относительные											удлинения								в			главных
		1 [ (								)];			направлениях (главные удлинения).																Если					какие-либо из
1		E	1			2			3				напряжений				i	будут					сжимающими, то их необходимо
		E											напряжений				i	будут					сжимающими, то их необходимо
2		1	[ 2		( 3		1)];						подставлять в формулы со знаком минус.
2		1	[ 2		( 3		1)];						Относительная объемная деформация:
		E												V										1 2
		1 [												V										1 2			(									)
					(																						(									)
	3			3	(				2		)].			V	1			2				3				E			1				2		3
	3	E		3		1			2
		E
Изменение объема не зависит от соотношения между главными напряжениями, а
зависит от суммы главных напряжений. Т.е. элементарный кубик получит такое же
изменение объема,											если к			его	граням				будут				приложены						одинаковые								средние
напряжения: ср									1			2 3 , тогда									1		2	3 ср				ср		,	где К=						E
напряжения: ср									1			2 3 , тогда									1		2	3 ср				ср		,	где К=						E
													3										E				К										3(1 2 )
— модуль объемной деформации. При деформации тела, материал которого имеет
коэффициент Пуассона = 0,5 (например, резина) объем тела не меняется.
													Потенциальная энергия деформации
При простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U=																											P L				.
При простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U=																													2		.
																													2
Удельная					потенциальная									энергия			—			количество						потенциальной											энергии,
																			U										2
накапливаемое в единице объема:																u	=							;		u				.	В общем случае

																		F L					2				2E



объемного напряженного состояния, когда действуют три главных напряжения:

			1	2		2	3		3			1	[ 2	2	2
u	1		1	2		2	3		3	или	u	1				2 (						)]
u										или	u					2 (	2		3		3	)]
		2			2			2				2E	1	2	3	1	2	1	3	2	3
		2			2			2				2E

Полная энергия деформации, накапливаемая в единице объема, может рассматриваться как состоящая из двух частей: 1) энергии uo, накапливаемой за счет изменения объема (т.е. одинакового изменения всех размеров кубика без изменения кубической формы) и 2) энергии uф, связанной с изменением формы кубика (т.е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед). u = uо + uф.

u		1 2		(			)	2

	o				2	3
		6	E	1

;

u		1		[	2	2	2							)]

	ф					2	3		2		3	2	3
		3	E	1				1		1

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

— тензор напряжений (матрица третьего порядка).

При переходе к главным напряжениям тензор напряжений получает вид:

		0
	1
T	0
T	0		2
H			2
	0	0

	0
	0
	0

		3
		3

. При повороте системы координат коэффициенты тензора

меняются, сам тензор остается постоянным. Три инварианта напряженного
		состояния:
	J1= x + y + z;
		Аналогичные	зависимости
	J2= x y + y z + y z — 2xy — 2zx — 2yz;
		возникают при рассмотрении
	J3= x y z — x 2yz — y 2zx — z 2xy + 2 xy zx yz.
		деформированного

		состояния	в	точке.

Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского состояния (аналогия):


1	2	2			1	2 cos2		1	2	2		1	2	2	cos2
	2				2				2				2
			2								2
1			2	sin2				1			2	sin2
	2			sin2			2		2			sin2


							— относительная деформация, — угол сдвига.

Та же аналогия сохраняется и для объемного состояния. Поэтому имеем инварианты деформированного состояния:

J1= x + y + z;
J2= x y + y z + z x —						1		2xy —		1	2yz —	1	2zx;
J2= x y + y z + z x —						4		2xy —		4	2yz —	4	2zx;
						4				4		4
	x		1	yx	1		zx

			2		2
			2		2
	1				1
J3		xy	y				zy		— тензор деформаций.
J3	2	xy	y		2		zy		— тензор деформаций.
	2				2
	1	xz	1	yz	z
	2	xz	2	yz	z
	2		2

x, y, z, xy, yz, zx — компоненты деформированного состояния.

Для осей, совпадающих с направлениями главных деформаций 1, 2, 3, тензор

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

соотношения между тремя главными напряжениями ( 1, 2, 3). Т.е., строго говоря, для каждого соотношения нужно экспериментально определять величину предельного напряжения, что нереально. Поэтому были приняты такие методы расчета прочности, которые позволяли бы оценить степень опасности любого напряженного состояния по напряжению растяжения – сжатия. Они называются теориями прочности (теории предельных напряженных состояний).

1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие нормальные напряжения. max= 1 [ ]. Главный недостаток: не учитываются два других главных напряжения. Подтверждается опытом только при растяжении весьма хрупких материалов (стекло, гипс). В настоящее время практически не применяется.

2-ая теория прочности (теория наибольших относительных деформаций): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие

Пуассона, получаем условие прочности эквII= 1

( 2 3 )], — коэффициент

— ( 2 + 3) [ ]. экв —

эквивалентное (расчетное) напряжение. В настоящее время теория используется редко, только для хрупких материалов (бетон, камень).

3-я теория прочности (теория наибольших касательных напряжений): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие

1 3

касательные напряжения

max [ ],

max=

, условие прочности:

эквIII= 1 —

3 [ ].

Основной недостаток –

не

учитывает влияние 2.

При

плоском

напряженном состоянии: эквIII=

( z

y )

y=0

получаем

4 zy [ ]. При

	2	4	2
	2		2
эквIII

[ ]

Широко используется для пластичных материалов.

4-я теория прочности (энергетическая теория): причиной наступления предельного напряженного состояния являются величина удельной потенциальной энергии

изменения формы. uф [uф]. эквIV 0,5 [( 1 2 )2 ( 1 3 )2 ( 2 3 )2 [ ] .

Учитывает, все три главных напряжения. При плоском напряженном состоянии:

		z y			z y
эквIV	(		)2	3(		)2	3 zy2	[ ]. При y=0,	эквIV	2 3 2	[ ]
		2			2

Широко используется для пластичных материалов.

Теория прочности Мора Получена на основе кругов напряжений Мора.

эквМ 1 [ p ] 3 . Используется при расчетах хрупких материалов, у которых

[ c ]

допускаемые напряжения на растяжение [ p] и сжатие [ с] не одинаковы (чугун). Для пластичных материалов [ p]=[ с] теория Мора превращается в 3-ю теорию.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

Чистый сдвиг Чистый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимно

перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения

=		Q
1			, где Q — сила, действующая вдоль
		F	, где Q — сила, действующая вдоль
о	=	F
о	3
45	грани, F — площадь грани. Площадки, по
	грани, F — площадь грани. Площадки, по
	которым действуют только				касательные
	которым действуют только				касательные
	напряжения,			называются	площадками
	чистого сдвига. Касательные напряжения
	чистого сдвига. Касательные напряжения
	на	них —		наибольшие. Чистый сдвиг

можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: 1= — 3 = ; 2= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45о.

		При деформации элемента, ограниченного площадками чистого
			— абсолютный сдвиг,
		сдвига, квадрат превращается в ромб.

G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа]

—постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться

деформациям при сдвиге.	G	E
	G	2(1

Пуассона).

Потенциальная энергия при сдвиге:

)

(Е — модуль упругости, — коэффициент

Q	Q	a
	2
2	2GF		.
2	2GF

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге:

U V

2	a
Q
2GFaF

где V=а F — объем элемента. Учитывая закон Гука,


	2
u	2G
	2G

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

Круг Мора при чистом сдвиге.


3	max	1
	max
	0

3 1

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

http//:www.svkspb.nm.ru

Площадь:

Геометрические характеристики плоских сечений

dF , dF — элементарная площадка.

Статический

x		dF
x
C
	C	y
		y
0	y
0	C

момент элемента площади dF относительно оси 0x — произведение элемента площади на расстояние "y" от оси 0x: dSx = y dF Просуммировав (проинтегрировав) такие произведения по всей площади фигуры, получаем статические моменты

относительно осей y и x:

Sx ydF

;

xdF

[см3, м3,

т.д.].

Координаты

центра

тяжести:

;

Статические моменты относительно центральных осей (осей, проходящих через центр тяжести сечения) равны нулю. При вычислении статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, с известными площадями Fi и координатами центров тяжести xi, yi.Статический момент площади всей фигуры =

сумме статических моментов каждой ее части:

Координаты центра тяжести сложной фигуры:

x C

n
	F y		;	S	y
i		i			y
i 1
		n				i
		i				i
S				F x
S		i 1
y		i 1				;
F			n			;
			n
			i
				F
			i 1

n
i
		F x
i 1
y	C
	C

i .

SFi yi

xi 1

F	n
F	i
	F
	i 1

этой точки.

http//:www.svkspb.nm.ru

. Мом-ты инерц. относит. главн. центр. осей

Осевой (экваториальный) момент инерции сечения

—

сумма произведений элементарных площадок dF

на

квадраты их расстояний до оси.

J x y

;

J y x

[см4, м4,

т.д.].

Полярный

момент

инерции

сечения

относительно

некоторой

точки

(полюса) — сумма

произведений

элементарных площадок на квадраты их расстояний от

Jp 2dF

; [см4, м4, т.д.].

Jy + Jx = Jp

Центробежный момент инерции сечения — сумма произведений элементарных

площадок на их расстояния от двух взаимно перпендикулярных осей.

J xy

xydF

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов

#
12.08.201920.41 Mб31Лекции Сопротивление материалов.pdf
#
15.08.20196.15 Mб12формула Ясинского.pdf