2.Спектр колебания при угловой модуляции. Общие соотношения

Пусть задано колебание

относительно которого известно, что передаваемое сообщение s (t) заложено в функцию θ (t). Если колебание a (t) получено с помощью фазовой модуляции, то θ (t) и s (t) полностью совпадают по форме и отличаются лишь постоянным коэффициентом. При этом, очевидно, с точностью до постоянного коэффициента совпадают и спектры функций θ (t) и s (t). В случае же частотной модуляции функция θ (t) является интегралом от передаваемого сообщения s (t). Это вытекает из выражений (3.19) и (3.20). Так как интегрирование является линейным преобразованием, то при частотной модуляции спектр функции θ (t) состоит из тех же компонентов, что и спектр сообщения s (t), но с измененными амплитудами и фазами.

Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции — фазовой или частотной и считая известным и заданным спектр функции θ (t), найдем спектр модулированного колебания a (t). Для этого выражение (3.25) преобразуем к виду

Из (3.26) следует, что модулированное по углу колебание можно рассматривать как сумму двух квадратурных колебаний; косинусного и синусного sinω₀t, каждое из которых модулировано только по амплитуде; для косинусного колебания закон амплитудной модуляции определяется медленной функцией cosθ(t), а для синусного — функцией sin θ (t). Ранее было установлено, что для определения спектра амплитудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть на частоту ю₀ спектр огибающей амплитуд. Следовательно, для нахождения спектра колебания а (t), определяемого выражением (3.26), необходимо сначала найти спектры функций cos θ (t) и sin θ (t), т. е. спектры огибающих квадратурных колебаний. Перенос этих спектров на частоту ω₀ можно затем осуществить таким же образом, как и при обычной амплитудной модуляции.

Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же передаваемом сообщении спектр колебания, модулированного по углу, значительно сложнее, чем модулированного по амплитуде. Действительно, так как cos θ (t) и sin θ (t) являются нелинейными функциями своего аргумента θ (t), то спектры этих функций могут существенно отличаться от спектра функции θ (t): возможно возникновение кратных и комбинационных частот, как это имеет место при обычных нелинейных преобразованиях спектра.

Это обстоятельство, а также наличие двух квадратурных слагаемых показывает, что при угловой модуляции спектр модулированного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра сообщения на величину несущей частоты ω₀, как это имеет место при амплитудной модуляции. Связь между спектрами сообщения и модулированного колебания оказывается при угловой модуляции более сложной.

2.1. Спектр колебания при гармонической угловой модуляции

Используем полученные выше результаты для анализа колебания вида

Это выражение совпадает с (3.23) и (3.23') при модуляции частоты по закону Начальная фаза θ₀, а также начальная фаза модулирующей функции у опущены для упрощения выкладок. В случае необходимости они легко могут быть введены в окончательные выражения.

В данном случае Подставляя θ (t) в выражение

(3.26), получаем

Учитывая, что множители являются периодическими функциями времени, разложим их в ряд Фурье.

В теории бесселевых функций доказываются следующие соотношения:

Здесь — бесселева функция первого рода n-го порядка от аргумента т.

С помощью соотношений (3.28) и (3.29) уравнение (3.27) можно привести

к виду

или в более развернутой форме

Таким образом, при частотной и фазовой модуляции спектр колебания состоит из бесконечного числа боковых частот, расположенных попарно симметрично относительно несущей частоты ω₀ и отличающихся от последней на где п — любое целое число. Амплитуда n-й боковой составляющей равна где Л о — амплитуда смодулированного колебания, а т — индекс модуляции. Отсюда следует, что удельный вес различных боковых частот определяется величиной т.

Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и больших значениях т. Если так что имеют место приближенные равенства

то выражение (3.27) переходит в следующее:

Сравним это уравнение с уравнением для амплитудно-модулированного колебания, у которого модулирующая функция (т. е. передаваемое сообщение) такая же, как и при частотной модуляции. Так как выражение (3.32) получено из (3.25') для модуляций⁵ частоты по закону то для удобства сравнения зададим модуляцию амплитуды по аналогичному закону A (t) = = . Тогда амплитудно-модулированное колебание запишется в форме

Из сравнения (3.32) и (3.33) видно, что при малых значениях т спектр колебания, как и в случае амплитудной модуляции, состоит из несущей частоты ω₀ и двух боковых частот: верхней ω₀ + Ω и нижней ω₀ — Ω. Единственное отличие заключается в фазировке колебаний боковых частот относительно несущего колебания. При AM фазы колебаний боковых частот симметричны относительно не- сущей частоты, а при угловой модуляции фаза колебания нижней боковой частоты сдвинута на 180° [знак минус перед последним слагаемым в (3.32)]. Это положение иллюстрируется векторной диаграммой, показанной на рис. 3.15, а. Направление вектора DC₂ при амплитудной модуляции обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на 180° приводит к тому, что вектор модуляции DF всегда перпендикулярен к направлению вектора OD, изображающего несущее колебание (рис. 3.15, а). Вектор OF, изображающий результирующее колебание, изменяется как по фазе, так и по амплитуде; однако при амплитудные изменения настолько малы, что ими можно пренебрегать и модуляцию можно в первом приближении рассматривать как чисто фазовую.

Спектральная диаграмма угловой модуляции при показана на рис.3.15, б. Симметрия амплитуд колебаний боковых частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута на 180°. Амплитуды колебаний боковых частот равны и поэтому

в данном случае индекс модуляции т совпадает по величине с коэффициентом М, характеризующим глубину изменения амплитуды при амплитудной модуляции. Заметим, что ширина спектра при равна 2Ω, как и при AM. Этот результат показывает, что при очень малых девиациях ω_д (по сравнению с Q) ширина спектра от величины ω_д не зависит.

При увеличении фазового отклонения, т. е. при возрастании величины т, уравнение (3.32) и диаграмма на рис. 3.15, а не дают правильного представления о действительной картине явлений при частотной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с по- мощью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары боковых частот невозможно представить колебание, частота или фаза которого изменяются в широких пределах, а амплитуда остается строго постоянной. Для получения правильной картины необходимо учитывать боковые частоты высших порядков в соответствии с выражением (3,31),

При значениях индексов т от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра должна быть приравнена 4Ω. Далее, при приходится учитывать третью и четвертую пары боковых частот и т. д. Спектрограммы для приведены на рис. 3.16. Фазы колебаний на этих рисунках не учитываются, однако следует иметь в виду,

что при четных п симметрия фаз сохраняется, а при нечетных п амплитуды нижних боковых частот следует брать со знаком минус. Амплитуды всех составляющих спектра представлены на этих рисунках в виде вертикальных отрезков, длины которых равны J_n (т), а расстояния от отрезка J₀(m), со- ответствующего амплитуде колебания несущей частоты, равны nΩ, где Ω — частота модуляции, а п — порядковый номер боковой частоты. Амплитуда результирующего колебания принята за 100%, т. е. A₀ = 1; обозначенные на рисунках величины J_n (т) дают амплитуды колебаний соответствующих частот в долях от амплитуды результирующего колебания.

Векторные диаграммы для моментов при m=1, построенные по выражению (3.30), представленные на рис. 3.17, а, 6, в и г.

Рассмотрим теперь случай больших значений т. Вопрос сводится к выяснению зависимости бесселевой функции от порядкового номера п при больших значениях аргумента т. Оказывается, что при величина более или менее равномерна при всех целых значениях \п\, меньших, чем аргумент т. При |n|, близких к образует всплеск, а при дальнейшем увеличении | п | функция быстро убывает до нуля. Общий характер этой зависимости показан на рис. 3.18 для т = 100. Из рисунка видно, что наивысший номер п боковой частоты, которую еще необходимо принимать в расчет, приблизительно равен индек- су модуляции т (в данном случае п = 100).

П риравнивая это максимальное значение n_MaKc величине т, приходим к выводу,что полная ширина спектрмодулированного колебания равна

Но следовательно, при больших индексах модуляции ширина спектра модулированного колебания близка к удвоенной де- виации частоты

Эта полоса частот обозначена в нижней части рис. 3.18.

Заметим, что в соответствии с определением т [см. (3.24)], вы- ражение «модуляция с малым индексом» эквивалентно выражению «быстрая модуляция», а выражение «модуляция с большим индек- сом» эквивалентна выражению «медленная модуляция». Поэтому можно сформулировать следующее положение: при быстрой угло- вой модуляции ширина спектра модулированного колебания близка к величине 2Ω; при медленной угловой модуляции ширина спектра близка к величине 2со_л.