Лабораторная работа 9 Экспериментальная проверка закона распределения Гаусса

Цель работы: познакомиться с особенностями статистических закономерностей. Экспериментально получить статистическую кривую распределения Гаусса.

Приборы и принадлежности: прямоугольный ящик со стеклянными передней и задней стенками, разделенный на ряд отсеков (доска Гальтона), линейка, крупнозернистый песок или мелкие шарики.

Вывод рабочей формулы и описание установки

Для выполнения данной лабораторной работы студентам необходимо знать понятия: статистический ансамбль, вероятность появления результата, функция распределения вероятности, статистические законы Гаусса и Максвелла.

Особое внимание следует обратить на соотношение динамических и статистических закономерностей, на различные примеры их применения и использования. Рассмотреть классические примеры использования динамических закономерностей, расчёт траектории полёта снаряда или самолета, движения планет вокруг Солнца. Обратить внимание, что, зная начальные положения тел и характер сил, действующих на тело во время движения, можно однозначно вычислить положение тела в любые предшествующие и последующие моменты времени.

Рассмотреть затем ряд физических явлений и процессов, в которых результат данного одиночного опыта не может быть предсказан с полной определенностью и носит случайный, вероятностный характер. К таким явлениям относятся, например, распад атомного ядра, испускание электронов нагретой нитью, испускание фотонов атомом, столкновение молекул. Убедиться, что невозможно знать, например, с какой скоростью будет двигаться та или иная молекула, какой энергией она будет обладать, импульсом и т.д. Неопределенность является внутренним свойством, характерной особенностью для тех процессов и явлений, которые определяются коллективным движением или взаимодействием большого числа однотипных объектов.

Усвоить вывод: по отношению к таким явлениям и системам можно поставить лишь один вопрос: какова вероятность того, что интересующая нас физическая величина будет иметь то или иное значение?

Обратить внимание на то место теории, в котором обосновываются понятия вероятности и функции распределения плотности вероятности.

Вероятность понимать как предел, к которому стремится относительная частота появления некоторого события при бесконечно большом числе повторений опыта. Если при опытах раз получен определенный результат, то вероятность этого результата . Вероятность того, что случайная величина может принимать значения от до (т.е. находится в интервале значений), является функцией самой этой величины и пропорциональна ширине интервала значений , т.е. . Запомнить: функция называется функцией распределения вероятности, она показывает, как распределяется вероятность, приходящаяся на один и тот же интервал значений , в зависимости от значений самой величины . Функцию называют функцией распределения плотности вероятности.

В лабораторной работе ставится задача: на примере механических моделей, имитирующих беспорядочность и хаотичность движений и столкновений молекул, экспериментально установить вид функций распределения для конкретных физических величин и сравнить полученные результаты с выводами теории.

Обратить внимание на постановку задачи. Система состоит из одинаковых частиц. Движение каждой частицы строго обусловлено

различными причинами. Оно подчиняется обычным законам механики, но из-за большого числа столкновений с другими частицами и со стенками сосуда величина и направление скорости частиц за короткий промежуток времени испытывают огромное число изменений и носят вероятностный, случайный характер.

Можно поставить задачу: чему равна относительная доля молекул , - компонента скорости которых ( ) лежит в заданном интервале значений от - до - или какова вероятность того, что некоторая молекула будет иметь -компоненту скорости в интервале между и .

. (1)

Из теории следует, что

. (2)

где -полное число частиц.

- функция распределения Гаусса.

Следует иметь в виду, что функция Гаусса симметрична относительно и стремится к нулю при возрастании до бесконечности. Графикфункции Гаусса изображен на следующем рисунке.

Постоянная -нормировочный множитель, - масса частицы. Экспериментально закон распределения Гаусса можно проверить с помощью доски Гальтона, эскиз которой изображен на рисунке;

1 - воронка с мелкими частицами (дробинки, крупнозернистый песок, пшено);

2 - заслонка;

3 - булавки или гвозди (центры столкновений)

4- ячейки.

Открыв заслонку 2, будем сыпать частицы равномерной струей. При движении каждая частица испытывает многочисленные столкновения с булавками. Это приводит к случайному разбросу компоненты скорости . Вероятность попадания частицы в ту или иную ячейку определится значением компоненты скорости частицы. Чем больше величина , тем в более далёкую от центра ячейку попадет частица. Число частиц, попавших в ту или иную ячейку, можно трактовать как вероятность того, что компонента скорости зернышка находится в определенном интервале значений. Так как ширина ячеек одинакова, то высота столбиков частиц в ячейках пропорциональна числу зёрен в ячейках, т.е. .