1.4. Наращение по сложной процентной ставке

Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях обычно проценты присоединяются к сумме долга, а для наращения применяют сложные проценты. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их начисления, называется капитализацией процентов.

Запишем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны , а наращенная сумма составит . К концу второго года она достигает величины и т.д.

В конце n-го года она будет

(1.8)

Проценты за этот же период равны

(1.9)

Проценты за каждый последовательный год увеличиваются. Для некоторого промежуточного года t они равны

(1.10)

Г рафическая иллюстрация роста по сложным процентам на рис. 1.2. Величину называют множителем наращения по сложным процентам.

Пример 1.7. Какой величины достигнет долг, равный 1000 рублей, через 4 года при росте по сложной ставке 15% годовых? руб.

Формула (1.8) получена для годовой процентной ставки и срока в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисления. В этих случаях - ставка за период начисления, - число таких периодов.

Переменные ставки. Если значения переменных ставок фиксируются в контракте, получаем

,

где - последовательные во времени значения ставок;

- соответствующие этим ставкам периоды.

Пример 1.8. Срок ссуды - 5 лет, договорная процентная ставка – 12% годовых в первые два года и 15% - в оставшиеся. Множитель наращения в этом случае = (1 + 0,12)2(1 + 0,15)3 = 1,9078

Рост по сложным и простым процентам. Для сопоставления результатов наращения достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Для ставки простых процентов введем индекс . Получим следующие соотношения множителей наращения:

срок меньше года ;

срок равен году ;

срок больше года .

Графическая иллюстрация соотношения множителей наращения приведена на рис. 1.3.

1.5. Наращение процентов m раз в году

Номинальная ставка. Обычно проценты капитализируются несколько раз в году - по полугодиям, кварталам и т.д. Как правило, в контрактах фиксируется годовая ставка и одновременно указывается период начисления процентов, например “18% годовых с поквартальным начислением процентов”.

Пусть -количество лет, годовая ставка равна , число периодов начисления в году - . Каждый раз проценты начисляются по ставке . Ставку называют номинальной.

Формула наращения в этом случае

(1.11)

Пример 1.9. Изменим условия примера 1.7. Какой величины достигнет долг, равный 1000 рублей, через 4 года при росте по сложной ставке 15% годовых, если проценты начисляются поквартально? В этом случае =16 и руб. При начислении процентов один раз в год получили = 1749 руб.

Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

Эффективная ставка. Эффективная процентная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов. это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и -разовое начисление процентов по ставке .

Обозначим эффективную ставку . По определению множители наращения по двум видам ставок (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:

= (1 + )^mn ,

откуда = (1 + )^m -1 (1.12)

Эффективная ставка при > 1 больше номинальной, при = 1 .

Пример 1.10. Какова эффективная ставка, если номинальная ставка 25% при помесячном начислении процентов? = (1 + )12 - 1 = 0,2807 Для сторон в сделке безразлично: применить ставку 25% (при помесячном начислении) или годовую ставку 28,07%

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в решении обратной задачи - в определении j по заданным значениям и . Находим

. (1.13)