
- •Лекции по финансовой математике
- •Введение
- •1. Проценты
- •1.1. Виды процентных ставок
- •1.2. Наращение по простой процентной ставке
- •1.3. Дисконтирование по простым процентным ставкам и учет
- •1.4. Наращение по сложной процентной ставке
- •1.5. Наращение процентов m раз в году
- •1.6. Дисконтирование по сложной процентной ставке и учет
- •2. Типовые задачи
- •2.1. Погашение задолженности частями
- •2.2. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите
- •2.3. Конверсия валюты и наращение процентов
- •2.4. Инфляция
- •2.5. Конверсия платежей
- •3. Потоки платежей
- •3.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •3.2. Нерегулярные потоки платежей
- •3.3. Запаздывающие ренты
- •Формулы для расчета наращенной суммы s и современной стоимости a постоянных запаздывающих рент
- •Формулы для расчета срока постоянных запаздывающих рент
- •3.4. Другие виды рент
- •4. Страхование
- •4.1. Финансовые ренты в страховании
- •4.2. Вероятности дожития
- •4.3. Страхование жизни
- •4.4. Пенсионное страхование
- •4.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
- •5.Облигации
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Цена и доходность облигации
- •5.3. Временная структура процентных ставок
- •5.4. Риск портфеля облигаций
- •5.5. Форвардные контракты
- •6.Акции
- •6.1. Основные понятия
- •6.2. Портфель инвестиций
- •6.3. Модель оптимизации портфеля
- •6.4. Задача Марковица
- •6.5. Модель эволюции цен акций
- •7. Фьючерсы и опционы
- •7.1. Фьючерсы
- •7.2. Опционы
- •7.3. Биномиальная модель оценки стоимости опционов
- •Литература
- •Оглавление
7.3. Биномиальная модель оценки стоимости опционов
Допустим,
что цена акции
в момент времени
есть случайный процесс, изменения
которого происходят согласно биномиальной
модели эволюции цен, построенной в п.
6.5. Это означает, что в течение каждого
периода независимо от других периодов
цена акции либо возрастает в
раз с вероятностью
либо уменьшается в
раз с вероятностью
Вероятности
и
являются нейтральными к риску и
определяются по формулам (7.5). Тогда
распределение случайной величины
задано формулой (6.22).
Рассмотрим
европейский колл-опцион на данную акцию
с ценой исполнения
и моментом исполнения
Обозначим через
доход покупателя колл-опциона на дату
погашения
Это и будет цена колл-опциона в момент
времени
Случайная величина
зависит от цены
базового актива:
(7.12)
Тогда справедливой ценой опциона будет математическое ожидание случайной величины , дисконтированное по безрисковой процентной ставке:
(7.13)
или
(7.14)
Найдем
наибольшее целое значение, при котором
выполнено условие
по формуле
.
(7.15)
Тогда формулу (7.14) можно переписать
Обозначим
тогда подставляя значение
(7.5) получим
.
В итоге получаем
(7.16)
Введем обозначение для дополнительной функции биномиального распределения
.
Тогда формулу (7.16) можно переписать
(7.17)
Пример 7.5. Текущая цена акции 1500 рублей. Известно, что к концу периода она может либо подняться на 25%, либо опуститься на 20%. Определим цену пятипериодного европейского колл-опциона на одну акцию, если цена его исполнения равна 3000 рублей, а безрисковая процентная ставка составляет 10%. Итак,
Найдем критическое значение по формуле (7.15)
округляем
до меньшего целого, то есть
Далее определяем вероятности:
По формуле (7.16) найдем
|
Так
как в формуле цены колл-опциона (7.17)
используются только вероятности
биномиального распределения, из нее
можно получить более удобную формулу,
если произвести предельный переход при
и воспользоваться интегральной теоремой
Муавра-Лапласа. При достаточно больших
дополнительная функция биномиального
распределения
приближается дополнительной функцией
нормального распределения с параметрами
и
где
функция Лапласа.
Таким образом, зная зависимость величин и от переменной , для оценки вероятности достаточно вычислить предел:
.
(7.18)
Тогда
Будем
предполагать, что известны численные
оценки логарифмической средней
и волантильности
динамики цены акции:
(7.19)
время
погашения колл-опциона на эту акцию.
В
формуле (7.17) две вероятности
для одинакового
и различных
и
Вычислим предел (7.18) для различных
по отдельности.
Рассмотрим
вначале
Известно, что
где
Учитывая,
что
,
где
непрерывно
начисляемая процентная ставка, преобразуем
формулу для
.
Введем специальные обозначения:
(7.20)
Тогда
и
Получаем
(7.21)
Для
вероятности
в результате преобразований получаем
,
где
определяется по формуле (7.20).
Отсюда следует
(7.22)
В формуле (7.16)
, переходим к пределам (7.21) и (7.22). Воспользовавшись тем, что
,
получаем формулу Блэка-Шоулса:
,
(7.23)
где
и
определяются формулой (7.20).
На практике можно применять приближенную формулу
(7.24)
Для определения цены европейского пут-опциона с тем же временем погашения и ценой погашения воспользуемся уравнением связи
.
Подставляя вместо формулу (7.23) получим:
.
(7.25)
Пример 7.6.
Необходимо найти цену
европейского колл-опциона на одну
акцию с ценой исполнения 1800 рублей и
временем погашения
Сначала определим вспомогательные величины.
Следовательно,
По формуле (7.20) находим значения критических точек и :
Подставляя полученные значения в формулу Блэка-Шоулса (7.23), получаем искомую цену европейского колл-опциона:
Цена колл-опциона по приближенной формуле (7.24) равна
Найдем цену пут-опциона на ту же акцию
|