6.4. Задача Марковица

Рассмотрим модель инвестирования в акций. Из всех допустимых портфелей , ожидаемая доходность которых равна заданному уровню , инвестора интересует портфель с минимальным риском, определямым его дисперсией . Формально задача имеет вид:

Воспользовавшись формулами (6.4), (6.5) запишем задачу Марковица:

(6.16)

Это задача оптимизации с нелинейной целевой функцией и ограничениями. Для ее решения можно использовать различные методы. Будем искать решение используя метод неопределенных множителей Лагранжа. Целевая функция

.

В точке экстремума производные равны нулю:

(6.17)

Найдем эти частные производные:

Приравниваем производные нулю:

В матричной форме записи

А- симметричная матрица :

; ; .

Решая систему уравнений в матричном виде получаем решение:

Так как в векторе ненулевыми являются только два последних элемента, а в векторе нас интересуют первые координат, портфель инвестиций определяется блоком обратной матрицы из строк и последних двух столбцов. Действительно, для любого

(6.18)

Изменяя значения желаемой доходности, мы всегда получаем оптимальный портфель, а вместе с ним и минимальное СКО, ему соответствующее. Таким образом, это позволяет нам построить границу области допустимых точек на плоскости “риск-доходность”.

Пример 6.2. Инвестиции возможны в акции трех типов. Известна ожидаемая доходность и матрица ковариации, надо найти вектор : Тогда матрица и ее обратная имеют размер 5х5: По формуле (6.18) находим Пусть доходность портфеля 20%, то есть . Тогда Найдем риск портфеля инвестиций по формуле (6.16). В матричной форме

Заметим, что если в портфель инвестиций включается безрисковый актив с доходностью , задача решается аналогично. Нас будут интересовать портфели , где - доля капитала, инвестированного в безрисковый актив с нулевым риском и нулевой ковариацией .

6.5. Модель эволюции цен акций

Если взглянуть на графики цен акций, то видно, что их поведение носит стохастический характер. Значение цены акции в момент времени является случайной величиной. Если к тому же рассмотреть эволюцию цены акции во времени , то она определяет некий случайный процесс.

С начала рассмотрим простейшую модель эволюции цены, когда рассматриваются цены только в начале и конце периода. Предполагается, что цена акции может либо вырасти с коэффициентом либо упасть с коэффициентом Если обозначить начальную цену акции то в конце единичного периода она может быть либо либо (Рис. 6.6). Пусть - коэффициент роста при инвестировании в безрисковый актив.

(6.19)

Обозначим - вероятность того, что цена возрастет. Тогда - вероятность падения цены.

Если инвестор нейтрален к риску, для него эквивалентно инвестирование денег в покупку акции или в безрисковый актив одной и той же доходности. Это значит, что выполнено равенство:

.

После сокращения получим:

. (6.20)

Отсюда найдем .

Дерево возможных эволюций цены для трех периодов приведено на рис. 6.7.

Результат каждого периода мы можем охарактеризовать случайной величиной

Рассмотрим случайную величину - количество периодов из общего их числа , когда цена растет. Такая случайная величина имеет биномиальное распределение:

.

Следовательно

(6.21)

Предположим, что задается некоторый критичный уровень цены акции после периодов , ниже которого она не должна опуститься.

,

где - наименьшее значение количества периодов возрастания цены акции.

,

отсюда

(6.22)

В расчетах используется - ближайшее целое, не превосходящее

Тогда вероятность того, что в момент времени цена акции превосходит заданный уровень :

(6.23)

Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание случайной величины, имеющей биномиальное распределение равно

Следовательно, математическое ожидание цены акции через периодов

(6.24)

Пример 6.3. Необходимо получить прогноз будущей цены акции через 5 лет. Известно, что цена акции в течение каждого года может либо подняться на 25%, либо упасть на 20%, в то время как безрисковый актив дает 12% годовых. Требуется определить вероятностьтого, что цена акции в конце пятого года будет больше 1800 рублей, если текущая цена 1000 рублей. Параметры биномиальной модели будут следующими: Сначала определим вероятности, нейтральные к риску. Подставив заданные параметры в (7.23) получим Соответственно Тогда искомая вероятность находится по формуле (6.23) Для данного примера распределение случайной величины легко получить по формуле (6.21) 0 1 2 3 4 5 0,002 0,022 0,114 0,292 0,376 0,194 328 512 800 1250 1953 3052

Биномиальная модель удобна при небольшом количестве периодов, но при росте их числа становится громоздкой. В этом случае используют аппроксимацию биномиального распределения нормальным законом.

, (6.25)

где - функция Лапласа. Для этой функции имеются таблицы.

Пример 6.4. Необходимо (как в примере 6.3) получить прогноз цены акции через 5 лет. Какова вероятность того, что цена акции в конце пятого года будет больше 1800 рублей при условии, что начальная цена 1000 рублей. Ежемесячно цена либо увеличивается на 1,9%, либо уменьшается на 1,8%. При этом безрисковая ставка в месяц составляет 0,95%. Эти данные соответствуют примеру 6.3, но количество периодов резко выросло. Параметры задачи: Нейтральные к риску вероятности По формуле (7.23) найдем критическое значение Аргумент функции Лапласа равен Используем таблицу Лапласа