5.4 Основная теорема зацепления

Вывод теоремы и ее формулировка определяют условие, которому должны отвечать боковые профили зубьев, находящихся в зацеплении друг с другом.

Рассмотрим картину касания двух боковых профилей зубьев. Пусть эти профили будут очерчены какими-то кривыми (рис. 5.6), касающимися друг друга в точке М.

Рис. 5.6 Картина зацепления двух соприкасающихся боковых профилей.

Прямая n-n является общей нормалью к этим кривым. Представим вращение профилей зубьев вокруг осей О₁ и О₂ с угловыми скоростями ω₁ и ω₂. Тогда векторы окружных скоростей и точек M₁ и M₂, принадлежащих этим профилям, будут направлены перпендикулярно радиусам О₁M и O₂M, а их величины будут равны:

,

.

Спроектируем эти скорости на нормаль n-n и получим векторы и

Очевидно, что для соблюдения нормальной работы зацепления необходимо обеспечить равенство этих векторов:

В противном случае будет или «убегание» левого профиля (если ) или «набегание» правого на левый ( ), что в принципе невозможно.

Рассмотрим подобие треугольников:

.

Из свойства соотношения сторон составим уравнение пропорции ,

откуда

.

Из аналогичного подобия и получим

Так как , то

или . (5.1)

Н

о , тогда , а уравнение (5.1) запишем в виде:

Это есть запись основной теоремы зацепления, которая гласит:

нормаль n-n к профилям, образующим высшую кинематическую пару, проведенная к точке их касания, делит межосевые расстояния на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям, с которыми эти профили вращаются.

5.5 Эвольвента и ее свойства

Наибольшее распространение получили зубчатые колеса, у которых боковые профили зубьев очерчены кривой под названием эвольвента. Соответственно профиль такого зуба и само зацепление называется эвольвентным.

Эвольвента – кривая, которую очерчивает точка, принадлежащая прямой, перекатывающейся по окружности без скольжения.

Координаты любой точки эвольвенты определяются углом и длиной .

Исходя из свойств эвольвенты ; и т.д.

Рис. 5.7 Построение эвольвенты

Из соотношения углов и дуг окружности радиуса r_b следует:

,

а из треугольника ОМ₃^/М₃ следует:

,

отсюда

,

(5.2)

Функция угла (5.2) называется инволютой угла :

Для определения ее численного значения в учебниках и справочниках по расчету зубчатых передач имеются таблицы.

Координаты любой точки эвольвенты определяются углом и отрезком длиной .

Определим зависимость от других геометрических параметров:

,

отсюда

Окружность, по которой перекатывается прямая, называется основной, а ее радиус , где - угол наклона бокового профиля зуба инструментальной рейки, служащей для нарезания зубьев.

Свойства эвольвенты:

1. Все точки эвольвенты лежат вне основной окружности радиуса r_b.

2. Нормаль к эвольвенте касательна к основной окружности.

3. Центры кривизны эвольвенты лежат на основной окружности.