Контрольная работа №2.

Задача №7. Контрольный тест содержит 10 вопросов, каждый из которых требует выбор правильного ответа из четырех данных, один из которых, правильный, а остальные неправильные. Найти наиболее вероятное число правильных ответов, которое даст тестируемый, знающий 3 вопроса. Найти вероятность того, что тестируемый даст наиболее вероятное число правильных ответов.

Решение.

Пусть - наиболее вероятное число правильных ответов, которое даст тестируемый, отвечая наудачу на 7 вопросов теста, которых он не знает. Тогда общее число наиболее вероятного числа правильных ответов будет . Итак, найдем :

- целое, следовательно, или . Поэтому или . Это означает, что и искомая вероятность равна:

.

Ответ: 4 или 5; .

Задача №8. Стрелок производит 4 выстрела по движущейся мишени. Вероятность попадания при первом выстреле 0,4; при втором – 0,3; при третьем – 0,2; при четвертом – 0,1. Найти вероятности следующих событий:

А – стрелок попадет в мишень 2 раза;

В – стрелок попадет в мишень хотя бы 1 раз;

С – стрелок ни разу не попадет в мишень.

Решение.

Вероятность промаха при первом выстреле 0,6; при втором – 0,7; при третьем – 0,8 и при четвертом выстреле 0,9.

Составим производящую функцию (многочлен)

.

Если раскроим скобки, сделаем приведение подобных членов и запишем многочлен по возрастающим степеням, то вероятность попаданий будет равна коэффициенту при . Итак:

.

Ответ:

Задача №9. Игральная кость подбрасывается 4 раза. Найти вероятность того, что: 1 очко выпадает 2 раза, 2 очка – 1 раз и 3 очка – 1 раз.

Решение.

По полиномиальной формуле, обобщающей формулу Бернулли, имеем:

.

Ответ: .

Задача №10. 100 станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого станка в течение смены равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены бесперебойно проработают:

1. 82 станка;

2. От 80 до 85 станков.

Решение.

Так как , то в пункте:

1. применим локальную приближенную формулу Муавра-Лапласа и в пункте

2. интегральную приближенную формулу Муавра-Лапласа.

1. , где

Итак: , где .

Находим:

- найдено по таблице для (Приложение 1).

2. , где . Находим .

Значения находим по таблице для функции Лапласа

(Приложение 2).

Итак: и получаем

.

Ответ: а)

б) .

Задача №11. На торговую базу завод отправил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность повреждения при транспортировке для каждой бутылки равна 0,002. Найти вероятность повреждения:

1. ;

2. от до ;

3. более 3-х бутылок.

Решение.

, поэтому воспользуемся формулой Пуассона для редких событий:

, где .

а) . Находим по таблице для функции при . Находим .

б) .

в) .

Ответ: а) 0,18045;

б) 0,54134;

в) 0,14289.

Задача №12. Найти закон распределения случайной величины - числа изделий высшего сорта среди 5 наудачу извлеченных из коробки изделий, если в коробке 8 изделий, среди которых 3 изделия высшего сорта. Найти .

Решение.

Ясно, что может принимать значения 0,1,2,3 с вероятностями:

;

;

.

Закон распределения :

	0	1	2	3

.

;

.

Ответ: .

Задача №13. Мишень разделена на три зоны: I, II, III. За попадание в зону I дается 1 очко, за попадание в зону II – 2 очка и за попадание в зону III – 3 очка. Вероятности попадания в зоны I, II, III соответственно равны . Найти закон распределения случайной величины , равной числу заработанных очков стрелком при двух независимых выстрелах по мишени. Найти .

Решение.

Пусть - число очков, заработанных стрелком при первом выстреле; - при втором выстреле. Тогда , так как независимы.

Законы распределения задаются таблицами:

	1	2	3			1	2	3
	0,3	0,2	0,5			0,3	0,2	0,5

Имеем:

	:	2	3	4	3	4	5
	:
	:	4	5	6
	:

Закон распределения :

	2	3	4	5	6
	0,09	0,12	0,34	0,2	0,25

.

Ответ: .

Вычисления можно было произвести, исходя из закона распределения .